Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau đây \(\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \le 9{y^4} + 6{y^3} - {x^2}{y^2} - 2{y^2}x\). Biết \(y \le 1000\). Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương \((x;y)\) thỏa mãn bất đẳng thức trên?

 

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

 Dùng hàm đặc trưng

Lời giải

Ta có: \(\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \le 9{y^4} + 6{y^3} - {x^2}{y^2} - 2{y^2}x\)

\( \Leftrightarrow \log \frac{{xy + y}}{{3{y^2} + y}} \le \left( {9{y^4} + 6{y^3} + {y^2}} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + 2xy.y + {y^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \log (xy + y) - \log \left( {3{y^2} + y} \right) \le {\left( {3{y^2} + y} \right)^2} - {(xy + y)^2}\)

\( \Leftrightarrow \log (xy + y) + {(xy + y)^2} \le \log \left( {3{y^2} + y} \right) + {\left( {3{y^2} + y} \right)^2}\)

Xét hàm : \(f(t) = \log t + {t^2}\) với \(t \in (0; + \infty )\)

\({f^\prime }(t) = \frac{1}{{t\ln 10}} + 2t > 0\,\,\forall t \in (0; + \infty ) \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)

\( \Rightarrow f(xy + y) \le f\left( {3{y^2} + y} \right) \Leftrightarrow xy + y \le 3{y^2} + y \Leftrightarrow x \le 3y\)

Vì \(y \le 1000\) nên ta có các trường hợp sau:

\(y = 1 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3\} \)

\(y = 2 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3;4;5;6\} \)

………

\(y = 1000 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3; \ldots ;3000\} \)

Vậy số cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(3 + 6 + 9 + \ldots + 3000 = 1501500\)