Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x,y)\) thỏa mãn điều kiện \(0 \le y \le 100\) và \({x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} - 19{y^3} + 3{x^2} - 3y = 0\)?

   

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sử dụng hàm đặc trưng

Lời giải

\({x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} - 19{y^3} + 3{x^2} - 3y = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} + 8{y^3} - 27{y^3} + 3{x^2} - 3y = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} + 8{y^3} + 3{x^2} + 6y = 27{y^3} + 9y\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2y} \right)^3} + 3\left( {{x^2} + 2y} \right) = {(3y)^3} + 3.3y\,\,(*)\)

Xét hàm số: \(f(t) = {t^3} + 3t\)

Ta có : \({f^\prime }(t) = 3{t^2} + 3 > 0\forall t \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow f(t)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Vì vậy \((*) \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 2y} \right) = f(3y) \Leftrightarrow {x^2} + 2y = 3y \Leftrightarrow {x^2} = y\)

Theo giả thiết ta có : \(0 \le y \le 100 \Leftrightarrow 0 \le {x^2} \le 100 \Leftrightarrow - 10 \le x \le 10\)

Vì \(x\) nguyên nên \(x \in \{ - 10; - 9; - 8; \ldots ;8;9;10\} \), với mỗi \(x\) xác định duy nhất giá trị \(y = {x^2}\).

Vậy có 21 cặp \((x;y)\) thỏa mãn bài toán.