Một công ty cần xây một cái kho chứa hàng dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 2000m³ bằng vật liệu gạch và xi măng, đáy là hình chữ nhật có chiều dài bằng hai lần chiều rộng. Người ta cần tính toán sao cho chi phí xây dựng thấp nhất, biết giá vật liệu xây dựng là 500.000 đồng /m². Khi đó, chi phí thấp nhất gần với số nào nhất trong các số dưới đây?

    

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tính diện tích bề mặt cần xây dựng, khảo sát min-max của hàm vừa tìm được hoặc đánh giá hàm vừa tìm được.

Lời giải

Xét hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\), đáy ABCD có \(AB = a,AD = 2a\), cạnh bên \({\rm{A}}{{\rm{A}}^\prime } = b\)

Diện tích một đáy: \({S_{ABCD}} = 2{a^2}\)

Tổng diện tích bốn mặt bên : \({S_{xq}} = 2a.b + 2.2a.b = 6ab\)

Thể tích \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }:V = 2{a^2}b = 2000 \Rightarrow ab = \frac{{1000}}{a}\)

Chi phí thấp nhất \( \Leftrightarrow \) diện tích toàn phần nhỏ nhất

Diện tích toàn phần của hình hộp là: \({s_{tp}} = 4{a^2} + 6ab = 4{a^2} + \frac{{6000}}{a}\)

Ta có: \(4{a^2} + \frac{{6000}}{a} = 4{a^2} + \frac{{3000}}{a} + \frac{{3000}}{a} \ge 3\sqrt[3]{{4{a^2}.\frac{{3000}}{a}.\frac{{3000}}{a}}} = 3\sqrt[3]{{36000000}}\)

Dấu bằng xảy \({\rm{ra}} \Leftrightarrow 4{a^2} = \frac{{3000}}{a} \Leftrightarrow a = 5\sqrt[3]{6}\)

Giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần là : \({S_{\min }} = 100\sqrt[3]{{36}} + \frac{{6000}}{{5\sqrt[3]{6}}}\)

\( \Rightarrow \) Chi phí nhỏ nhất là \(\left( {100\sqrt[3]{{36}} + \frac{{6000}}{{5\sqrt[3]{6}}}} \right).500000 \approx 495.289.087\) đồng

Cách 2 : Khảo sát hàm số: \(y = 4{a^2} + \frac{{6000}}{a}\) tìm min