Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(\forall x \in \mathbb{R}\), hàm số \({f^\prime }(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số: \(y = f\left[ {{f^\prime }(x)} \right]\) là:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác định phương trình hàm số \(y = {f^\prime }(x)\) dựa vào đồ thị.

Lời giải

Đồ thị hàm số \(y = {f^\prime }(x)\) đi qua các điểm \(O(0;0),A( - 1;0),B(1;0)\) nên tọa độ các điểm đó thỏa mãn phương trình hàm số \(y = {f^\prime }(x)\)

Ta có hệ phương trình : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{ - 1 + a - b + c = 0}\\{1 + a + b + c = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{b = - 1}\\{c = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow {f^\prime }(x) = {x^3} - x\)

Đặt \(g(x) = f\left[ {{f^\prime }(x)} \right] \Rightarrow {g^\prime }(x) = {f^{\prime \prime }}(x).{f^\prime }\left[ {{f^\prime }(x)} \right]\)

\({g^\prime }(x) = {f^{\prime \prime }}(x).{f^\prime }\left[ {{f^\prime }(x)} \right] = \left[ {{{\left( {{x^3} - 3} \right)}^3} - \left( {{x^3} - x} \right)} \right]\left( {3{x^2} - 1} \right)\)

\( = x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^3} - x + 1} \right)\left( {3{x^2} - 1} \right)\)

Dễ thấy \({g^\prime }(x) = 0\) có 7 nghiệm phân biệt, tất cả đều là nghiệm đơn nên hàm số có 7 cực trị