Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}m{x^2} + 2mx - 3m + 4\) nghịch biến trên đoạn có độ dài là 3?

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Ứng dụng hệ thức Viet, quy tắc xét dấu tam thức bậc 2

Lời giải

Tập xác định : \(D = R\)

Ta có: \({y^\prime } = {x^2} - mx + 2m\)

Vì \(a = 1 > 0\) nên hàm số đã cho nghịch biến trên 1 đoạn khi và chỉ khi phương trình \({y^\prime } = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\)

\(\Delta = {m^2} - 8m > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{m > 8}\end{array}} \right.\)

Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({y^\prime } = 0\), theo định lí Viet ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m}\\{{x_1}.{x_2} = 2m}\end{array}} \right.\)

Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài là 3

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow x_1^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9\\ \Rightarrow {m^2} - 8m = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 1}\\{m = 9}\end{array}} \right.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện nghiệm ta thấy cả hai giá trị của \(m\) đều thỏa mãn yêu cầu bài toán