Cho hai số thực $x\ge 0, 1\le y\le 3$ thỏa mãn $2^{x-2y}. (2x+1) = 4y +2x +4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2^{x-y-2} - x - y^2 + 2037$ ? (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án: _____ .

Đáp án đúng là "2025"

Phương pháp giải

Giải bất phương trình hàm mũ.

Lời giải

Giả thiết cho \({2^{x - 2y}}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4\)

\( \Leftrightarrow {2^x}.(2x + 1) = 2(2y + x + 2){2^{2y}} \Leftrightarrow {2^x}.(2x + 1) = {2^{2y + 1}}(2y + x + 2)\)

\( \Leftrightarrow {2^{2x}}.(2x + 1) = {2^{2y + x + 1}}(2y + x + 1 + 1)\)

Xét hàm số \(f(t) = {2^t}.(t + 1)\) trên \((0; + \infty )\); suy ra

\({f^\prime }(t) = {2^t}.(t + 1)\ln 2 + {2^t} > 0,\forall t \in (0; + \infty )\)

Vậy hàm số \(f(t)\) luôn đồng biến trên \((0; + \infty )\) nên ta có:

\( \Leftrightarrow {2^{2x}}.(2x + 1) = {2^{2y + x + 1}}(2y + x + 1 + 1) \Leftrightarrow 2x = 2y + x + 1 \Leftrightarrow x = 2y + 1\)

Suy ra:

\(P = {2^{x - y - 2}} - x - {y^2} + 2037 = {2^{y - 1}} - \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + 2037 = \frac{1}{4}{.2^{y + 1}} - {(y + 1)^2} + 2037\)

Xét hàm số \(g(a) = \frac{1}{4}{.2^a} - {a^2};a \in [2;4]\)

\({g^\prime }(a) = \frac{{{2^a}.\ln 2}}{4} - 2a \Rightarrow {g^{\prime \prime }}(a) = \frac{{{2^a}.{{\ln }^2}2}}{4} - 2 < 0,\forall a \in [2;4]\)

\( \Rightarrow {g^\prime }(a)\) luôn nghịch biến trên [2 ; 4]

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{[2;4]} {g^\prime }(a) = {g^\prime }(2) = \ln 2 - 4 < 0\)

\( \Rightarrow g(a)\) luôn nghịch biến trên [2 ; 4]

\( \Rightarrow \min g(a) = g(4) =  - 12\)

Vậy \(\min P =  - 12 + 2037 = 2025\) khi \(y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3;x = 7\).

Đáp án: 2025