Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \({m^2}\ln \left( {\frac{x}{e}} \right) = (2 - m)\ln x - 4\) có nghiệm thuộc vào đoạn \(\left[ {\frac{1}{e};1} \right]\).

 

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình và biện luận theo m

Lời giải

Ta có: \({m^2}\ln \left( {\frac{x}{e}} \right) = (2 - m)\ln x - 4\)

\( \Leftrightarrow {m^2}(\ln x - 1) = (2 - m)\ln x - 4 \Leftrightarrow \left( {{m^2} + m - 2} \right)\ln x = {m^2} - 4.\) (1)

Ÿ Với \({m^2} + m - 2 = 0 \Rightarrow m = 1\,\,(m > 0)\)

(1) \( \Leftrightarrow 0.\ln x = - 3\) (Vô lý) Suy ra loại m = 1

Ÿ Với \(m \ne 1\)

(1) \( \Leftrightarrow \ln x = \frac{{m - 2}}{{m - 1}}\) (2)

Hàm số \(y = \ln x\) đồng biến trên \(\left[ {\frac{1}{e};1} \right]\), suy ra \(\ln x \in [ - 1;0]\).

Phương trình (2) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\frac{1}{e};1} \right]\) khi:

\( - 1 \le \frac{{m - 2}}{{m - 1}} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{m - 2}}{{m - 1}} \ge - 1}\\{\frac{{m - 2}}{{m - 1}} \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \frac{3}{2}}\\{m < 1}\end{array}} \right.}\\{1 < m \le 2}\end{array} \Leftrightarrow \frac{3}{2} \le m \le 2} \right.} \right.\) suy ra \(m = 2\)

Vậy có 1 giá trị nguyên dương của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.