Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a, điểm \(M\) thuộc cạnh SC sao cho \(SM = 2MC\). Mặt phẳng \((P)\) chứa AM và song song với BD. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi \((P)\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Định lý Talet

Lời giải

Gọi \(O = AC \cap BD,I = AM \cap SO\).

Trong \((SBD)\) từ \(I\) kẻ đường thẳng \(\Delta \) song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại N, P.

Khi đó thiết diện là tứ giác ANMP.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AC}\\{BD \bot SO}\end{array} \Rightarrow BD \bot (SAC) \Rightarrow BD \bot AM} \right.\).

Mặt khác \(BD//NP \Rightarrow AM \bot NP \Rightarrow {S_{ANMP}} = \frac{1}{2}NP.AM\).

Lại có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SA = SC = 2a}\\{AC = 2\sqrt 2 a}\end{array} \Rightarrow \Delta SAC} \right.\) vuông cân tại \(S \Rightarrow AM = \sqrt {S{A^2} + S{M^2}} = \frac{{2\sqrt {13} }}{3}a\).

Ta có: \(NP//BD \Rightarrow \frac{{NP}}{{BD}} = \frac{{SI}}{{SO}} \Rightarrow NP = \frac{{SI.BD}}{{SO}}\).

Ta thấy A, I, M thẳng hàng nên

\(\frac{{SI}}{{OI}}.\frac{{AO}}{{AC}}.\frac{{MC}}{{MS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SI}}{{OI}}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow SI = 4OI \Rightarrow SI = \frac{4}{5}SO\)

\( \Rightarrow NP = \frac{4}{5}BD = \frac{{4\sqrt 2 a}}{5}\)

Suy ra: \({S_{ANMP}} = \frac{1}{2}NP.AM = \frac{1}{2}.\frac{{8\sqrt 2 a}}{5}.\frac{{2\sqrt {13} a}}{3} = \frac{{8\sqrt {26} a}}{{15}}\).