Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn . (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án: __ . 

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Đặt ẩn và giải phương trình.

Lời giải

Đặt \(t = {\log _3}(x + y) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = {3^t}}\\{{x^2} + {y^2} = {4^t}}\end{array}} \right.\) (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\({9^t} = {(x + y)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {4^t} \Rightarrow {\left( {\frac{9}{4}} \right)^t} \le 2 \Rightarrow t \le {\log _{\frac{9}{4}}}2.\)

Khi đó: \({x^2} + {y^2} = {4^t} \Rightarrow {x^2} \le {4^t} \le {4^{{{\log }_{\frac{9}{4}}}2}} \approx 1,89 \Rightarrow x \in \{  - 1;0;1\} \).

Ÿ Trường hợp \(1:x = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {3^t}}\\{{y^2} = {4^t}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\).

Ÿ Trường hợp 2: \(x = 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {3^t} - 1}\\{{y^2} = {4^t} - 1}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\).

Ÿ Trường hợp 3: \(x =  - 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {3^t} + 1}\\{{y^2} + 1 = {4^t} \ge 1}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \ge 0}\\{y = {3^t} + 1}\end{array} \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 5} \right.} \right.\) mâu thuẫn với \({x^2} + {y^2} \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }}\)

Vậy có hai giá trị \(x \in \{ 0;1\} \).