Cho hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\), trên cạnh \(A{A^\prime },B{B^\prime },C{C^\prime }\) lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \(\frac{{AM}}{{A{A^\prime }}} = \frac{3}{4},\frac{{BN}}{{B{B^\prime }}} = \frac{1}{2},\frac{{CP}}{{C{C^\prime }}} = \frac{1}{3}\). Biết rằng \((MNP)\) cắt \({D^\prime }D\) tại \(Q\). Tính tỷ số \(\frac{{{D^\prime }Q}}{{{D^\prime }D}}\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tìm thiết diện.

Lời giải

Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {B{B^\prime }C{C^\prime }} \right)//\left( {A{A^\prime }D{D^\prime }} \right)}\\{(MNP) \cap \left( {B{B^\prime }C{C^\prime }} \right) = NP \Rightarrow NP//MQ}\\{(MNP) \cap \left( {A{A^\prime }D{D^\prime }} \right) = MQ}\end{array}} \right.\) (1)

Và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(AABB)//(CCDD)}\\{(MNP) \cap (AABB) = MN \Rightarrow MN//PQ}\\{(MNP) \cap (CCDD) = PQ}\end{array}} \right.\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra mặt phẳng \((MNP)\) cắt hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) theo thiết diện là hình bình hành MNPQ.

Gọi \(I = AC \cap BD,K = MP \cap NQ\). Dễ dàng có IK là đường trung bình của hai hình thang ACPM và BDQN nên \(IK = \frac{{AM + CP}}{2} = \frac{{BN + DQ}}{2}\) (3)

Suy ra \(AM = \frac{1}{4}A{A^\prime },BN = \frac{1}{2}B{B^\prime } = \frac{1}{2}A{A^\prime },CP = \frac{2}{3}C{C^\prime } = \frac{2}{3}A{A^\prime }\).

Do đó (3) \( \Rightarrow DQ = \frac{5}{{12}}D{D^\prime }\).

Vậy \(\frac{{{D^\prime }Q}}{{{D^\prime }D}} = \frac{7}{{12}}\).