Cho hình chóp \[S.ABCD\], đáy \[ABCD\] là hình thoi cạnh \[\sqrt 7 \], \[SA = SB = SC\], \[SC\] tạo với đáy một góc \[60^\circ \], \[\widehat {ABC} = 60^\circ \]. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AC,SD\].

Gọi \[H\]là trọng tâm của tam giác \[ABC\], Vì \[\Delta ABC\] đều và \[SA = SB = SC\] nên \[SH \bot \left( {ABC} \right)\]

Lại có \[\left\{ \begin{array}{l}SC \cap \left( {ABCD} \right) = C\\SH \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SCH} = 60^\circ \]

Từ \[D\] dựng \[DI//AC\] cắt \[AB\] tại \[I\]\[ \Rightarrow AC//\left( {SDI} \right)\]

\[ \Rightarrow d\left( {AC;SD} \right) = d\left( {AC;\left( {SDI} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {SDI} \right)} \right)\]

Mặt khác \[\frac{{d\left( {O;\left( {SDI} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SDI} \right)} \right)}} = \frac{{OD}}{{HD}} = \frac{3}{4} \Rightarrow d\left( {O;\left( {SDI} \right)} \right) = \frac{3}{4}d\left( {H;\left( {SDI} \right)} \right)\].

Vì \[AC \bot DH \Rightarrow HD \bot ID\], mà \[SH \bot ID \Rightarrow ID \bot \left( {SHD} \right)\]

Từ \[H\] dựng \[HF \bot SD \Rightarrow HF \bot \left( {SDI} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SDI} \right)} \right) = HF\].

Ta có \[EC = \frac{{\sqrt {21} }}{2} \Rightarrow HC = \frac{2}{3}EC = \frac{{\sqrt {21} }}{3}\]

Trong tam giác \[SHC\] có \[SH = HC\tan 60^\circ  = a\]

Mà \[HD = HO + OD = \frac{4}{3}OD = \frac{4}{3}\frac{{\sqrt {21} }}{2} = \frac{{2\sqrt {21} }}{3}\]

Trong tam giác \[SHD\] có \[\frac{1}{{H{F^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{D^2}}} = \frac{1}{{{{\sqrt 7 }^2}}} + \frac{3}{{4.{{\sqrt 7 }^2}}} = \frac{7}{{4.7}} \Rightarrow HF = 2\]

\[ \Rightarrow d\left( {AC;SD} \right) = \frac{3}{4}.\frac{{2\sqrt 7 \sqrt 7 }}{7} = \frac{3}{2} = 1,5\]