Cho tứ diện đều \[ABCD\] có cạnh bằng \(2\sqrt 2 \). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác\(ABD\),\(ABC\) và \(E\) là điểm đối xứng với \(B\) qua điểm \(D\). Mặt phẳng \(\left( {MNE} \right)\) chia khối tứ diện \[ABCD\] thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh \(A\) có thể tích \(V\). Tính \(V\).

Thể tích khối tứ diện đều cạnh \(2\sqrt 2 \) là: \(\frac{8}{3}\).

Gọi \(P = ME \cap AD\); \(T = ME \cap AB\). Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đường thẳng \(TN\) cắt \(AC\),\(BC\) lần lượt tại \(Q\),\(F\). Khi đó mặt phẳng \(\left( {MNE} \right)\) chia khối tứ diện đã cho phần chứa đỉnh \(A\) là tứ diện \(ATPQ\).

Gọi \(I\) là trung điểm \(BD\). Xét \(\Delta AID\) ta có: \(\frac{{ED}}{{EI}}.\frac{{MI}}{{MA}}.\frac{{PA}}{{PD}} = 1\) (định lý Menelaus)\( \Rightarrow \frac{{PA}}{{PD}} = 3\).

Tương tự ta có: \(\frac{{QA}}{{QC}} = 3\)

Xét \(\Delta AIB\) ta có: \(\frac{{EI}}{{EB}}.\frac{{TB}}{{TA}}.\frac{{MA}}{{MI}} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{TB}}{{TA}} = \frac{2}{3}\).

Mặt khác ta có: \(\frac{{{V_{ATPQ}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AT}}{{AB}}.\frac{{AP}}{{AD}}.\frac{{AQ}}{{AC}} = \frac{3}{5}.\frac{3}{4}.\frac{3}{4} = \frac{{27}}{{80}}\) \( \Rightarrow {V_{ATPQ}} = \frac{{27}}{{80}}.\frac{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{9}{{10}} = 0,9\).