Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O cạnh a, \[\widehat {ABC} = 60^\circ ,SA \bot \left( {ABCD} \right),\] \[SA = \frac{{3a}}{2}\]. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(SC\)bằng: ……

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}AD \not\subset \left( {SBC} \right)\\AD//BC\end{array} \right. \Rightarrow AD//\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {AD,SC} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right).\]

\[\Delta ABC\] đều do \[\widehat {ABC} = 60^\circ \] và \[AB = BC\].

Gọi I là trung điểm BC,khi đó: \[AI \bot BC\](do \[\Delta ABC\] đều), mà \[BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAI} \right)\] theo giao tuyến \(SI.\)

Kẻ \(AH \bot SI\)tại \(H\)\( \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow \)\[d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH.\]

\[\Delta ABC\] đều cạnh \[a \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Xét \[\Delta SAI\] vuông tại A có đường cao AH: \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{4}{{9{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{16}}{{9{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{3a}}{4} = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right).\]

Vậy \[d\left( {AD,SC} \right) = \frac{{3a}}{4}.\]