Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao \(AB = 70\;{\rm{m}}\), phương nhìn \(AC\) tạo với phương nằm ngang góc \(30^\circ \), phương nhìn \(BC\) tạo với phương nằm ngang góc \(60^\circ \). Tính chiều cao ngọn núi so với mặt đất.

Xét \(\Delta ACH\) có \(AH = \frac{{CH}}{{\tan 45^\circ }}\).

Xét \(\Delta BCH\) có \(BH = \frac{{CH}}{{\tan 35^\circ }}\).

Có \(AH + BH = 105\) nên \(\frac{{CH}}{{\tan 45^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 35^\circ }} = 105\)\( \Leftrightarrow CH = 105:\left( {\frac{1}{{\tan 45^\circ }} + \frac{1}{{\tan 35^\circ }}} \right) \approx 43,2\)(m).

a) Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) thì \(\sin \alpha > 0\).

Khi đó \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha > 0\).

b) Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\). Suy ra \(\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

c) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}:\frac{1}{3} = 2\sqrt 2 \).

d) \[\frac{{6\sqrt 2 \sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{\sqrt 2 \tan \alpha + 2\sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6\sqrt 2 \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3}}}{{\sqrt 2 \cdot 2\sqrt 2 + 2\sqrt 2  \cdot \frac{1}{{2\sqrt 2 }}}} = \frac{9}{5}\].

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.