Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để tồn tại duy nhất giá trị nguyên của \(y\) sao cho thỏa mãn bất phương trình \({e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x > \ln \left( {{x^2} - y} \right)\)?
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để tồn tại duy nhất giá trị nguyên của \(y\) sao cho thỏa mãn bất phương trình \({e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x > \ln \left( {{x^2} - y} \right)\)?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là A
Phương pháp giải
Giải bất phương trình hàm số mũ.
Lời giải
Điều kiện ban đầu: \({x^2} - y > 0 \Leftrightarrow y < {x^2}\)
Đầu tiên ta có bất phương trình tương đương với: \({e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x - \ln \left( {{x^2} - y} \right) > 0\)
Xét hàm số theo biến \(y\) tức \(f(y) = {e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x - \ln \left( {{x^2} - y} \right)\) trên \(\left( { - \infty ;{x^2}} \right)\) ta có:
\({f^\prime }(y) = 2{e^{2y}} + 4{x^2} - 2y + \frac{1}{{{x^2} - y}} > 0\) trên \(\left( { - \infty ;{x^2}} \right)\) nên hàm số \(f(y)\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;{x^2}} \right)\)
Từ đó ta có bất phương trình \(f(y) > 0 \Leftrightarrow {f^{ - 1}}(0) < y < {x^2}\)
Ta có nhận xét như sau: do tồn tại duy nhất giá trị nguyên của \(y\) nên suy ra khoảng \(\left( {{f^{ - 1}}(0);{x^2}} \right)\) của giá trị \(y\) cũng chứa duy nhất một giá trị nguyên, khi đó giá trị của \(y\) sẽ chạy từ \({x^2} - 1\) đến \({x^2}\), tức \({x^2} - 1 < {f^{ - 1}}(0) < y < {x^2}\), từ đó ta suy ra mệnh đề này chỉ xảy ra khi và chỉ khi:
\({f^{ - 1}}(0) > {x^2} - 1 \Leftrightarrow f\left( {{x^2} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow {e^{2\left( {{x^2} - 1} \right)}} + 4{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) - {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + x - \ln \left( {{x^2} - \left( {{x^2} - 1} \right)} \right) < 0\)
\( \Leftrightarrow {e^{2\left( {{x^2} - 1} \right)}} + 4{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right) + x > 0 \Leftrightarrow {e^{2\left( {{x^2} - 1} \right)}} + 3{x^4} - 2{x^2} + x - 1 < 0\)
Xét hàm số \(g(x) = {e^{2\left( {{x^2} - 1} \right)}} + 3{x^4} - 2{x^2} + x - 1\) có \({g^\prime }(x) = 0\) có một nghiệm duy nhất
Suy ra phương trình \(g(x) = 0\) có không quá hai nghiệm
Từ đó ta giải ra bất phương trình \(g(x) < 0\) có chứa 1 giá trị nguyên \(x = 0\) tức có 1 giá trị nguyên \(x\) sao cho thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Đáp án đúng là D
Phương pháp giải
Áp suất phân tử chất khí: \(p = \frac{1}{3}\rho \overline {{v^2}} \)
Lời giải
Áp suất mà khí đó tác dụng lên thành bình là:
\(p = \frac{1}{3}.\frac{m}{V}\overline {{v^2}} = \frac{1}{3}\rho \overline {{v^2}} \)
\[ \to p = \frac{1}{3}{.6.10^{ - 2}}{.500^2} = {5.10^3}\,(Pa)\]
Lời giải
Đáp án đúng là "103"
Phương pháp giải
Ứng dụng tích phân để tính thể tích.
Lời giải
Giả sử thiết diện qua trục của bình hoa miêu tả như hình vẽ bên dưới. Chọn hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn gốc tọa độ O trùng với tâm đáy bình hoa, trục Ox trùng với trục của bình hoa.
Bán kính hình tròn đáy bình hoa bằng \({y_A} = 2\) nên
\( - \sin {x_A} + 2 = 2 \Rightarrow \sin {x_A} = 0 \Rightarrow {x_A} = 0\)
Bán kính đường tròn miệng bình hoa bằng \({y_B} = 1,5\,\,\left( {2\pi < {x_B} < 3\pi } \right)\), tức là:
\(\sin \left( {{x_B} - \pi } \right) + 2 = 1,5 \Rightarrow \sin \left( {{x_B} - \pi } \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow {x_B} - \pi = - \frac{\pi }{6} + 2\pi \Rightarrow {x_B} = \frac{{17\pi }}{6}\)
Khi đó thể tích bình hoa giới hạn bởi các đường \(y = - \sin x + 2;y = 0;x = 0;x = \frac{{17\pi }}{6}\) được xác định theo công thức
\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {{{( - \sin x + 2)}^2}} \;{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {\left( {4 - 4\sin x + {{\sin }^2}x} \right)} {\rm{d}}x\\ = \pi \int\limits_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {\left( {4 - 4\sin x + \frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)} {\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {\left( {\frac{9}{2} - 4\sin x - \frac{{\cos 2x}}{2}} \right)} {\rm{d}}x\\ = \left. {\pi \left( {\frac{9}{2}x + 4\cos x - \frac{{\sin 2x}}{4}} \right)} \right|_0^{\frac{{17\pi }}{6}} = \frac{{51{\pi ^2}}}{4} - \frac{{32 + 15\sqrt 3 }}{8}\pi \approx 103,07\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\end{array}\)
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập