Cho hàm số $y = x^3-3x^2 - (m^2 -2)x + m^2 \left(C_m\right)$. Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt $A,B,C (x_{A }< x_B<x_C)$ và có hai điểm cực trị M, N. Số các giá trị của tham số m để MN = AC là?

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ứng dụng định lý Viet

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và trục Ox là:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} - \left( {{m^2} - 2} \right)x + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow (x - 1)\left( {{x^2} - 2x - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{{x^2} - 2x - {m^2} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 1 \pm \sqrt {1 + {m^2}} }\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)

Suy ra \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt

\(A\left( {1 - \sqrt {1 + {m^2}} ;0} \right),B(1;0),C\left( {1 + \sqrt {1 + {m^2}} ;0} \right){\rm{ v\`a  }}AC = 2\sqrt {1 + {m^2}} \)

Ta có, \({y^\prime } = 3{x^2} - 6x - {m^2} + 2,{y^\prime } = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - {m^2} + 2 = 0\) (1), phương trình (1) luôn có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) với mọi giá trị của tham số \(m\). Áp dụng định lý Vi-et ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{{ - {m^2} + 2}}{3}}\end{array}} \right.\)

Gọi hai điểm cực trị là \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\).

Đường thẳng qua hai điểm cực trị M, N là \(y =  - \frac{2}{3}\left( {{m^2} + 1} \right)x + \frac{{2{m^2} + 2}}{3}\).

Nên ta có

\(\begin{array}{l}MN = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + \frac{4}{9}{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} \\ = \sqrt {\left( {1 + \frac{4}{9}{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}} \right)\left( {{{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right)} \\ = \sqrt {\left( {1 + \frac{4}{9}{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}} \right)\left( {4 - \frac{4}{3}\left( {2 - {m^2}} \right)} \right)}  = \sqrt {\frac{4}{3}\left( {1 + {m^2}} \right) + \frac{{16}}{{27}}{{\left( {1 + {m^2}} \right)}^3}} \end{array}\)

Theo giả thiết \(MN = AC\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {\frac{4}{3}\left( {1 + {m^2}} \right) + \frac{{16}}{{27}}{{\left( {1 + {m^2}} \right)}^3}}  = 2\sqrt {1 + {m^2}}  \Leftrightarrow \frac{4}{3}\left( {1 + {m^2}} \right) + \frac{{16}}{{27}}{\left( {1 + {m^2}} \right)^3} = 4\left( {1 + {m^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{4}{3}\left( {1 + {m^2}} \right) + \frac{{16}}{{27}}{\left( {1 + {m^2}} \right)^3} = 4\left( {1 + {m^2}} \right) \Leftrightarrow \frac{4}{3} + \frac{{16}}{{27}}{\left( {1 + {m^2}} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {1 + {m^2}} \right)^2} = \frac{9}{2}\)

\( \Leftrightarrow 1 + {m^2} = \frac{3}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt {\frac{3}{{\sqrt 2 }} - 1} \)