Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a; và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC. Côsin của góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C' bằng bao nhiêu?
Đáp án: _____
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án
0,25
Giải thích
Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC,H\) là trung điểm của \(AB,K\) là trung điểm của \(AC\) thì \(OHAK\) là hình chữ nhật. Ta có
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a,OA = \frac{{BC}}{2} = a\)
\(OA' = \sqrt {A{{A'}^2} - O{A^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)
\(OH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(OK = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\)
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho tia \(Ox\) chứa \(H\), tia \(Oy\) chứa \(K\) và tia \(Oz\) chứa \(A'\) (xem hình vẽ).
Khi đó \(A'\left( {0;0;a\sqrt 3 } \right),A\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};0} \right),B\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}; - \frac{a}{2};0} \right),C\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};0} \right)\).
\(\overrightarrow {AA'} = \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}; - \frac{a}{2};a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - a\sqrt 3 ;a;0} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(AA'\) và \(B'C'\). Khi đó:
\(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {A{A^\prime }} ,\overrightarrow {BC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {A{A^\prime }} .\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\overrightarrow {A{A^\prime }} .\overrightarrow {BC} }} = \frac{1}{4} = 0,25.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án A
\(\frac{{8a}}{9}\)
Giải thích
Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\,\,\left( 1 \right)\)
\(\Delta ABC\) vuông tại \(B \Rightarrow BC \bot AB\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow BC//\left( {SAB} \right)\)
Trong \({\rm{mp}}\left( {SBC} \right)\) kẻ \(KH//BC\left( {H \in SB} \right)\)
\( \Rightarrow KH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {K,\left( {SAB} \right)} \right) = KH\)
Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \).
\(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + 5{a^2}} = 3a\).
\(S{A^2} = SK.SC \Rightarrow SK = \frac{{S{A^2}}}{{SC}} = \frac{{4{a^2}}}{{3a}} = \frac{{4a}}{3}\).
Vì \(KH//BC\) nên \(\frac{{KH}}{{BC}} = \frac{{SK}}{{SC}} \Rightarrow KH = \frac{{SK.BC}}{{SC}} = \frac{{\frac{4}{3}a.2a}}{{3a}} = \frac{8}{9}a\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án
69,3
Giải thích
Gọi \(I\) là trung điểm \(AC\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {B'AC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC}\\{BI \bot AC}\\{B'I \bot AC}\end{array} \Rightarrow \left[ {B',AC,B} \right] = \widehat {B'IB}} \right.\)
Ta có: \(BI = \frac{{AC}}{2} = a;B'B = \sqrt {{{(3a)}^2} - {{(a\sqrt 2 )}^2}} = \sqrt 7 a\)
Xét \({\rm{\Delta }}BB'I\) vuông tại \(B:{\rm{tan}}\widehat {B'IB} = \frac{{B'B}}{{BI}} = \frac{{\sqrt 7 a}}{a} = \sqrt 7 \Rightarrow \widehat {B'IB} \approx 69,{3^ \circ }\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập