Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a; và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC. Côsin của góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C' bằng bao nhiêu?
Đáp án: _____
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án
0,25
Giải thích
Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC,H\) là trung điểm của \(AB,K\) là trung điểm của \(AC\) thì \(OHAK\) là hình chữ nhật. Ta có
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a,OA = \frac{{BC}}{2} = a\)
\(OA' = \sqrt {A{{A'}^2} - O{A^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)
\(OH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(OK = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\)
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho tia \(Ox\) chứa \(H\), tia \(Oy\) chứa \(K\) và tia \(Oz\) chứa \(A'\) (xem hình vẽ).
Khi đó \(A'\left( {0;0;a\sqrt 3 } \right),A\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};0} \right),B\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}; - \frac{a}{2};0} \right),C\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};0} \right)\).
\(\overrightarrow {AA'} = \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}; - \frac{a}{2};a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - a\sqrt 3 ;a;0} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(AA'\) và \(B'C'\). Khi đó:
\(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {A{A^\prime }} ,\overrightarrow {BC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {A{A^\prime }} .\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\overrightarrow {A{A^\prime }} .\overrightarrow {BC} }} = \frac{1}{4} = 0,25.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Đáp án A
\(\frac{{8a}}{9}\)
Giải thích
Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\,\,\left( 1 \right)\)
\(\Delta ABC\) vuông tại \(B \Rightarrow BC \bot AB\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow BC//\left( {SAB} \right)\)
Trong \({\rm{mp}}\left( {SBC} \right)\) kẻ \(KH//BC\left( {H \in SB} \right)\)
\( \Rightarrow KH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {K,\left( {SAB} \right)} \right) = KH\)
Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \).
\(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + 5{a^2}} = 3a\).
\(S{A^2} = SK.SC \Rightarrow SK = \frac{{S{A^2}}}{{SC}} = \frac{{4{a^2}}}{{3a}} = \frac{{4a}}{3}\).
Vì \(KH//BC\) nên \(\frac{{KH}}{{BC}} = \frac{{SK}}{{SC}} \Rightarrow KH = \frac{{SK.BC}}{{SC}} = \frac{{\frac{4}{3}a.2a}}{{3a}} = \frac{8}{9}a\).
Lời giải
Đáp án
69,3
Giải thích
Gọi \(I\) là trung điểm \(AC\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {B'AC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC}\\{BI \bot AC}\\{B'I \bot AC}\end{array} \Rightarrow \left[ {B',AC,B} \right] = \widehat {B'IB}} \right.\)
Ta có: \(BI = \frac{{AC}}{2} = a;B'B = \sqrt {{{(3a)}^2} - {{(a\sqrt 2 )}^2}} = \sqrt 7 a\)
Xét \({\rm{\Delta }}BB'I\) vuông tại \(B:{\rm{tan}}\widehat {B'IB} = \frac{{B'B}}{{BI}} = \frac{{\sqrt 7 a}}{a} = \sqrt 7 \Rightarrow \widehat {B'IB} \approx 69,{3^ \circ }\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập