Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên \(SAD\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SB,BC,CD\). Thể tích của khối tứ diện \(CMNP\) là

Đáp án

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\).

Giải thích

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\). Do \(\Delta SAD\) đều nên \(SH \bot AD\).

Do \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Dựng đường thẳng Az vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\), ta có \(AD,AB,Az\) là ba tia đôi một vuông góc nhau. Chọn hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ (\(O \equiv A\)).

Không mất tính tổng quát, chọn \(a = 1\). Ta có:

\(A\left( {0;0;0} \right),S\left( {\frac{1}{2};0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right),M\left( {\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right),B\left( {0;1;0} \right),P\left( {1;\frac{1}{2};0} \right),C\left( {1;1;0} \right),N\left( {\frac{1}{2};1;0} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CP} = \left( {0; - \frac{1}{2};0} \right),\overrightarrow {CN} = \left( { - \frac{1}{2};0;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CP} ,\overrightarrow {CN} } \right] = \left( {0;0; - \frac{1}{4}} \right)\) và \(\overrightarrow {CM} = \left( { - \frac{3}{4}; - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\)

Nên \({V_{CMNP}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {CP} ,\overrightarrow {CN} } \right].\overrightarrow {CM} } \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{{96}}\).