1) Rút gọn biểu thức Q=\(\left( {\frac{{\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} }}{{\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}}  + \sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} }} + \frac{{{\rm{x}} - {\rm{y}}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}}  - {\rm{x}} + {\rm{y}}}}} \right).\frac{{{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}} }}\)với \({\rm{x}} > {\rm{y}} > 0\)

2)    Cho đường thẳng d có phương trình y = (3m + 1)x - 6m -1, m là tham số. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất.

3)    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({{\rm{x}}^2} - 2\left( {3{\rm{m}} - 1} \right){\rm{x}} + {{\rm{m}}^2} - {\rm{m}} - 4 = 0{\rm{\;}}\) có hai nghiệm phân biệt \({{\rm{x}}_1},{{\rm{x}}_2}\) thỏa mãn \(\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} + \sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} } \right) + \left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} - \sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}}  = 2008} \right)\)

1) Rút gọn biểu thức Q=\(\left( {\frac{{\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} }}{{\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}}  + \sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} }} + \frac{{{\rm{x}} - {\rm{y}}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}}  - {\rm{x}} + {\rm{y}}}}} \right).\frac{{{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}} }}\)với \({\rm{x}} > {\rm{y}} > 0\)

                      Q=\(\left( {\frac{{\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} }}{{\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}}  + \sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} }} + \frac{{\sqrt {{{\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right)\left( {{\rm{x}} - {\rm{y}}} \right)}  - \sqrt {{{\left( {{\rm{x}} - {\rm{y}}} \right)}^2}} }}} \right){\rm{\;}}.{\rm{\;}}\frac{{{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}} }}\)

\(\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} .\left( {\frac{1}{{\sqrt {{\rm{x}} + {\rm{y}}}  + \sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{\rm{x}} + {\rm{y}}}  - \sqrt {\rm{x}}  - {\rm{y}}}}} \right).{\rm{\;}}\frac{{{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}} }}\)

                                  = \(\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} \).\(\frac{{\sqrt {{\rm{x}} + {\rm{y}}} }}{{\rm{y}}}.{\rm{\;}}\frac{{{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}} }}\)

                                  =\(\frac{{{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}}}{{\rm{y}}}\)

2. Chỉ ra đường thẳng d luôn đi qua điểm M(2;1)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng d

Suy ra OH\( \le {\rm{OM\;}}\forall {\rm{m}}\)

Chỉ ra đường thẳng OM có phương trình là y =\(\frac{1}{2}{\rm{x}}.\)

Do OM \( \bot {\rm{d\;n\^e n}}\frac{1}{2}\left( {3{\rm{m}} + 1} \right) =  - 1 \Rightarrow 3{\rm{m}} + 1 =  - 2 \Rightarrow {\rm{m}} =  - 1.\)

3. Phương trình \({{\rm{x}}^2} - 2\left( {3{\rm{m}} - 1} \right){\rm{x}} + {{\rm{m}}^2} - {\rm{m}} - 4 = 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 1 \right)\) có hai điểm phân biệt

\( \Rightarrow \Delta ' > 0\)\( \Rightarrow {\left( {3{\rm{m}} - 1} \right)^2} - \left( {{{\rm{m}}^2} - {\rm{m}} - 4} \right) > 0\)\( \Rightarrow 8{{\rm{m}}^2} - 5{\rm{m}} + 5 > 0\)\( \Rightarrow 8{\left( {{\rm{m}} - \frac{5}{{16}}} \right)^2} + \frac{{132}}{{32}} > 0;\forall {\rm{m}} \in R\)

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({{\rm{x}}_1},{{\rm{x}}_2}\)

Theo Vi-ét ta có :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = 2\left( {3{\rm{m}} - 1} \right)}\\{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {{\rm{m}}^2} - m - 4}\end{array}} \right.\)

Đặt A=\({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} + \sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}{\rm{\;}}} ;{\rm{B}} = {{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} - \sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} \)

Ta có A.B = \({\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - {{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {\left( {{{\rm{x}}_1} + \frac{{{{\rm{x}}_2}}}{2}} \right)^2} + \frac{{3{\rm{x}}_2^2}}{4} > 0,\forall {{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}\)

Suy ra A và B luôn cùng dấu \( \Rightarrow \left| {\rm{A}} \right| + \left| {\rm{B}} \right| = \left| {{\rm{A}} + {\rm{B}}} \right|\)

Do đó \(\left| {{x_1} + {x_2} + \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right| + \left| {{x_1} + {x_2} - \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right| = 2008\)\( \Rightarrow \left| {{x_1} + {x_2} + \sqrt {{x_1}{x_2}}  + {x_1} + {x_2} - \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right| = 2008\)

\( \Rightarrow \left| {{x_1} + {x_2}} \right| = 1004\)\( \Rightarrow 2\left| {3{\rm{m}} - 1} \right| = 1004\) \( \Rightarrow \left| {3{\rm{m}} - 1} \right| = 502 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{m}} = \frac{{503}}{3}}\\{{\rm{m}} =  - 167}\end{array}} \right.\)