1. tìm các bộ ba số nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn đẳng thức dưới đây:

          \({{\rm{x}}^3} + {{\rm{y}}^3} + {{\rm{x}}^2}\left( {3{\rm{y}} + 2{\rm{z}}} \right) + {{\rm{y}}^2}\left( {3{\rm{x}} + 2{\rm{z}}} \right) + {{\rm{z}}^2}\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right) + 4{\rm{xyz}} = 2023.\)

2. trên mặt phẳng cho 2\( \times 2024\)điểm phân biệt, trong đó không có bất kì 3 điểm nào thẳng hàng người ta tô 2024 điểm trong các điểm màu đỏ và tô 2024 điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh rằng, bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2024 đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng có hai điểm đầu mút là một cặp điểm đỏ-xanh) sao cho hai đoạn thẳng bất kì trong đó không có điểm chung .

1) Rút gọn biểu thức Q=\(\left( {\frac{{\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} }}{{\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}}  + \sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} }} + \frac{{{\rm{x}} - {\rm{y}}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}}  - {\rm{x}} + {\rm{y}}}}} \right).\frac{{{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}} }}\)với \({\rm{x}} > {\rm{y}} > 0\)

                      Q=\(\left( {\frac{{\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} }}{{\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}}  + \sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} }} + \frac{{\sqrt {{{\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right)\left( {{\rm{x}} - {\rm{y}}} \right)}  - \sqrt {{{\left( {{\rm{x}} - {\rm{y}}} \right)}^2}} }}} \right){\rm{\;}}.{\rm{\;}}\frac{{{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}} }}\)

\(\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} .\left( {\frac{1}{{\sqrt {{\rm{x}} + {\rm{y}}}  + \sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{\rm{x}} + {\rm{y}}}  - \sqrt {\rm{x}}  - {\rm{y}}}}} \right).{\rm{\;}}\frac{{{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}} }}\)

                                  = \(\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} \).\(\frac{{\sqrt {{\rm{x}} + {\rm{y}}} }}{{\rm{y}}}.{\rm{\;}}\frac{{{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}} }}\)

                                  =\(\frac{{{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}}}{{\rm{y}}}\)

2. Chỉ ra đường thẳng d luôn đi qua điểm M(2;1)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng d

Suy ra OH\( \le {\rm{OM\;}}\forall {\rm{m}}\)

Chỉ ra đường thẳng OM có phương trình là y =\(\frac{1}{2}{\rm{x}}.\)

Do OM \( \bot {\rm{d\;n\^e n}}\frac{1}{2}\left( {3{\rm{m}} + 1} \right) =  - 1 \Rightarrow 3{\rm{m}} + 1 =  - 2 \Rightarrow {\rm{m}} =  - 1.\)

3. Phương trình \({{\rm{x}}^2} - 2\left( {3{\rm{m}} - 1} \right){\rm{x}} + {{\rm{m}}^2} - {\rm{m}} - 4 = 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 1 \right)\) có hai điểm phân biệt

\( \Rightarrow \Delta ' > 0\)\( \Rightarrow {\left( {3{\rm{m}} - 1} \right)^2} - \left( {{{\rm{m}}^2} - {\rm{m}} - 4} \right) > 0\)\( \Rightarrow 8{{\rm{m}}^2} - 5{\rm{m}} + 5 > 0\)\( \Rightarrow 8{\left( {{\rm{m}} - \frac{5}{{16}}} \right)^2} + \frac{{132}}{{32}} > 0;\forall {\rm{m}} \in R\)

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({{\rm{x}}_1},{{\rm{x}}_2}\)

Theo Vi-ét ta có :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = 2\left( {3{\rm{m}} - 1} \right)}\\{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {{\rm{m}}^2} - m - 4}\end{array}} \right.\)

Đặt A=\({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} + \sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}{\rm{\;}}} ;{\rm{B}} = {{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} - \sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} \)

Ta có A.B = \({\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - {{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {\left( {{{\rm{x}}_1} + \frac{{{{\rm{x}}_2}}}{2}} \right)^2} + \frac{{3{\rm{x}}_2^2}}{4} > 0,\forall {{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}\)

Suy ra A và B luôn cùng dấu \( \Rightarrow \left| {\rm{A}} \right| + \left| {\rm{B}} \right| = \left| {{\rm{A}} + {\rm{B}}} \right|\)

Do đó \(\left| {{x_1} + {x_2} + \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right| + \left| {{x_1} + {x_2} - \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right| = 2008\)\( \Rightarrow \left| {{x_1} + {x_2} + \sqrt {{x_1}{x_2}}  + {x_1} + {x_2} - \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right| = 2008\)

\( \Rightarrow \left| {{x_1} + {x_2}} \right| = 1004\)\( \Rightarrow 2\left| {3{\rm{m}} - 1} \right| = 1004\) \( \Rightarrow \left| {3{\rm{m}} - 1} \right| = 502 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{m}} = \frac{{503}}{3}}\\{{\rm{m}} =  - 167}\end{array}} \right.\)

Từ giả thiết x + y + z = xyz, ta có \(\frac{1}{{{\rm{xy}}}} = \frac{1}{{{\rm{yz}}}} = \frac{1}{{{\rm{xz}}}} = 1.\)

Dặt a=\(\frac{1}{{\rm{x}}};{\rm{b}} = \frac{1}{{\rm{y}}};{\rm{c}} = \frac{1}{{\rm{z}}} \Rightarrow {\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} > 0;\)

Giả thiết trở thành ab + bc + ca = 1; P =\(\frac{{\rm{a}}}{{\sqrt {1 + {{\rm{a}}^2}} }} + \frac{{\rm{b}}}{{\sqrt {1 + {{\rm{b}}^2}} }} + \frac{{\rm{c}}}{{\sqrt {1 + {{\rm{c}}^2}} }}\)

Đẻ ý rằng:

\({{\rm{a}}^2} + 1 = {{\rm{a}}^2} + {\rm{ab}} + {\rm{bc}} + {\rm{ca}} = \left( {{\rm{a}} + {\rm{b}}} \right)\left( {{\rm{a}} + {\rm{c}}} \right)\)

\({{\rm{b}}^2} + 1 = {{\rm{b}}^2} + {\rm{ab}} + {\rm{bc}} + {\rm{ca}} = \left( {{\rm{b}} + {\rm{a}}} \right)\left( {{\rm{b}} + {\rm{c}}} \right)\)

  \({{\rm{c}}^2} + 1 = {{\rm{c}}^2} + {\rm{ab}} + {\rm{bc}} + {\rm{ca}} = \left( {{\rm{c}} + {\rm{a}}} \right)\left( {{\rm{c}} + {\rm{b}}} \right)\)

Lúc này ta có:

P=\(\frac{{\rm{a}}}{{\sqrt {\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}}} \right)\left( {{\rm{a}} + c} \right)} }} + \frac{{\rm{b}}}{{\sqrt {\left( {{\rm{b}} + {\rm{a}}} \right)\left( {{\rm{b}} + c} \right)} }} + \frac{{\rm{c}}}{{\sqrt {\left( {{\rm{c}} + {\rm{a}}} \right)\left( {{\rm{c}} + {\rm{b}}} \right)} }}\)

=\(\sqrt {\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{a}} + {\rm{b}}}}.} \sqrt {\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{a}} + {\rm{c}}}}}  + \sqrt {\frac{{\rm{b}}}{{{\rm{b}} + {\rm{a}}}}.} \sqrt {\frac{{\rm{b}}}{{{\rm{b}} + {\rm{c}}}}}  + \sqrt {\frac{{\rm{c}}}{{{\rm{c}} + {\rm{a}}}}.} \sqrt {\frac{{\rm{c}}}{{{\rm{c}} + {\rm{b}}}}} {\rm{\;}}\)

Theo bất đẳng thức Cô-si (AM-GM), ta có:

P\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{a}} + {\rm{b}}}} + \frac{{\rm{a}}}{{{\rm{a}} + {\rm{c}}}} + \frac{{\rm{b}}}{{{\rm{b}} + {\rm{a}}}} + \frac{{\rm{b}}}{{{\rm{b}} + {\rm{c}}}} + \frac{{\rm{c}}}{{{\rm{c}} + {\rm{a}}}} + \frac{{\rm{c}}}{{{\rm{c}} + {\rm{b}}}}} \right)\) hay P\( \le \frac{3}{2}\).

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}{\rm{\;hay\;x}} = {\rm{y}} = {\rm{z}} = \sqrt 3 \)

Vậy giá trị lớn nhất của P =\(\frac{3}{2}{\rm{\;}} \Leftrightarrow {\rm{x}} = {\rm{y}} = {\rm{z}} = \sqrt 3 .\)