Cho Parabol \(y = \frac{1}{2}{x^2}\left( P \right)\), đường thẳng (d): \(y =  - \frac{2}{m}x + 2\) với m\( \ne \)0 và điểm I(0;2)

a)     Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt.

b)     Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK là tam giác vuông.

c)     Chứng minh rằng độ dài của đoạn thẳng AB lớn hơn 4

Ta có:

A=\(\left( {\frac{{x + 4\sqrt x  + 4}}{{x + \sqrt x  - 2}} + \frac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}}} \right)\):\(\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right)\)

   =\(\left( {\frac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}} \right)\):\(\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  -  - 1}}} \right)\)

   =\(\left( {\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}} \right)\):\(\left( {\frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}}} \right)\)

   =\(\left( {\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}} \right)\):\(\left( {\frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}}} \right)\)

   =\(\left( {\frac{2}{{\sqrt x  - 1}}} \right)\). \(\left( {\frac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}} \right)\)

   =\(\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)

a)     Ta có biến đổi sau

\(A \ge \frac{{1 + \sqrt {2023} }}{{\sqrt {2023} }}\)\( \Rightarrow \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} \ge \frac{{1 + \sqrt {2023} }}{{\sqrt {2023} }}\)\( \Rightarrow \sqrt {2023x}  + \sqrt {2023}  \ge \sqrt x  + \sqrt {2023x} \)

\( \Rightarrow \sqrt x  \le \sqrt {2023} \)\( \Rightarrow x\; \le 2023\)

b)     Kết hợp với điều kiện xác định ban đầu, ta được \(1 < x\; \le 2023\;\left( {x \in \;\mathbb{Z}} \right)\).

Vậy có 2022 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bình luận – đây là một bài rút gọn biểu thức đơn giản; ở ý a), ta chỉ cần thực hiện các phép tính toán thật cẩn thận để ra kết quả đúng, còn ở ý b), ta cần lưu ý điều kiện xác định để có thể tìm được đúng tập các giá trị \(x\) thỏa mãn.