Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC, BC < 2R) nội tiếp đường tròn (O;R) (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D \( \ne \) E, D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F và cắt AC tại I.

a)     Chứng minh rằng MBIC là tức giác nội tiếp.

b)     Chứng minh rằng FI.FM= FD.FE

c)     Tìm vị trí của điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất

Ta có:

A=\(\left( {\frac{{x + 4\sqrt x  + 4}}{{x + \sqrt x  - 2}} + \frac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}}} \right)\):\(\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right)\)

   =\(\left( {\frac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}} \right)\):\(\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  -  - 1}}} \right)\)

   =\(\left( {\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}} \right)\):\(\left( {\frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}}} \right)\)

   =\(\left( {\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}} \right)\):\(\left( {\frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}}} \right)\)

   =\(\left( {\frac{2}{{\sqrt x  - 1}}} \right)\). \(\left( {\frac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}} \right)\)

   =\(\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)

a)     Ta có biến đổi sau

\(A \ge \frac{{1 + \sqrt {2023} }}{{\sqrt {2023} }}\)\( \Rightarrow \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} \ge \frac{{1 + \sqrt {2023} }}{{\sqrt {2023} }}\)\( \Rightarrow \sqrt {2023x}  + \sqrt {2023}  \ge \sqrt x  + \sqrt {2023x} \)

\( \Rightarrow \sqrt x  \le \sqrt {2023} \)\( \Rightarrow x\; \le 2023\)

b)     Kết hợp với điều kiện xác định ban đầu, ta được \(1 < x\; \le 2023\;\left( {x \in \;\mathbb{Z}} \right)\).

Vậy có 2022 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bình luận – đây là một bài rút gọn biểu thức đơn giản; ở ý a), ta chỉ cần thực hiện các phép tính toán thật cẩn thận để ra kết quả đúng, còn ở ý b), ta cần lưu ý điều kiện xác định để có thể tìm được đúng tập các giá trị \(x\) thỏa mãn.