Một chiếc cổng hình parabol có phương trình \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\). Biết cổng có chiều rộng \(d = 5\;{\rm{m}}\). Hãy tính chiều cao \(h\) (m) của cổng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải

Tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {2; - 1} \right)\).

Vì \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) là 8, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) là −1.

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) là 7. Chọn C.

Lời giải

a) Vì \(a = 1 > 0\) nên \(\left( P \right)\) có bề lõm quay lên.

b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {0; - 3} \right)\) vào \(\left( P \right)\) ta được \( - 3 = {0^2} + 4 \cdot 0 + 1\) (vô lí).

Vậy điểm \(A\left( {0; - 3} \right)\) không thuộc parabol \(\left( P \right)\).

c) Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) là nghiệm phương trình

\({x^2} + 4x + 1 = 2x + 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x =  - 2 \Rightarrow y =  - 3\end{array} \right.\)\(\).

Vậy \(M\left( {0;1} \right),N\left( { - 2; - 3} \right)\).

d)

\({S_{AMN}} = \frac{1}{2}NA \cdot MA = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Đúng;     d) Đúng.