Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để qua \(A\left( {0;m} \right)\) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\) ?

 

Đáp án

10.

Giải thích

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{4}{{{{(x + 2)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị là:

\(y - {y_0} = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\). Do tiếp tuyến đi qua \(A\left( {0;m} \right)\) nên \({y_A} - {y_0} = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {{x_A} - {x_0}} \right)\) (1)

(1) \( \Leftrightarrow m - \frac{{{x_0} - 2}}{{{x_0} + 2}} = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\left( {0 - {x_0}} \right)\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{{ - 4{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} + \frac{{{x_0} - 2}}{{{x_0} + 2}}\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{{x_0^2 - 4{x_0} - 4}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\,\,\left( 2 \right)\)

Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x - 4}}{{{{(x + 2)}^2}}}\) trên \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\]

Ta có: \(y' = \frac{{8{x^2} + 16x}}{{{{(x + 2)}^4}}}\)

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{8{x^2} + 16x}}{{{{(x + 2)}^4}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \in D}\\{x = - 2 \notin D}\end{array}} \right.\)

Để phương trình (2) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị hàm số \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x - 4}}{{{{(x + 2)}^2}}}\) tại 2 điểm

\( \Leftrightarrow m \in \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Mà \(m \in \left[ { - 10;10} \right] \Rightarrow m \in \left\{ {0;2;3; \ldots 10} \right\}\)

Vậy có 10 giá trị \(m\).