Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m + 1} \right){.16^x} - 2\left( {2m - 3} \right){.4^x} + 6m + 5 = 0\) có hai nghiệm trái dấu là

    

Đáp án

2.

Giải thích

Đặt \({4^x} = t{\rm{\;}}\,(t > 0)\). Phương trình trở thành: \(\left( {m + 1} \right){t^2} - 2\left( {2m - 3} \right)t + 6m + 5 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({t_1}\); \({t_2}\) thỏa mãn \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne - 1}\\{{\Delta ^\prime } = - 2{m^2} - 23m + 4 > 0}\\{{t_1}{t_2} > 0}\\{{t_1} + {t_2} > 0}\\{({t_1} - 1)({t_2} - 1) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne - 1}\\{2{m^2} + 23m - 4 < 0}\\{\frac{{6m + 5}}{{m + 1}} > 0}\\{\frac{{2(2m - 3)}}{{m + 1}} > 0}\\{{t_1}{t_2} - ({t_1} + {t_2}) + 1 < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne - 1}\\{2{m^2} + 23m - 4 < 0}\\{\frac{{6m + 5}}{{m + 1}} > 0}\\{\frac{{2(2m - 3)}}{{m + 1}} > 0}\\{\frac{{6m + 5}}{{m + 1}} - \frac{{2(2m - 3)}}{{m + 1}} + 1 < 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{m^2} + 23m - 4 < 0}\\{(6m + 5)(m + 1) > 0}\\{(2m - 3)(m + 1) > 0}\\{(3m + 12)(m + 1) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ - 23 - \sqrt {561} }}{4} < m < \frac{{ - 23 + \sqrt {561} }}{4}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < - 1}\\{m > - \frac{5}{6}}\end{array}} \right.}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < - 1}\\{m > \frac{3}{2}}\end{array}} \right.}\\{ - 4 < m < - 1}\end{array} \Leftrightarrow - 4 < m < - 1} \right.} \right.\)

Do \(m\) nguyên nên \(m \in \{ - 3; - 2\} \).

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.