Cho phương trình \(\sqrt {12 - \frac{3}{{{x^2}}}} + \sqrt {4{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} = 4{x^2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đáp án

Phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Giải thích

Điều kiện \(x \ne 0;\,\,12 - \frac{3}{{{x^2}}} \ge 0;\,\,4{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}} \ge 0\).

Cách 1. Ta có \(\sqrt {12 - \frac{3}{{{x^2}}}} + \sqrt {4{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} = \frac{1}{3}\sqrt {9\left( {12 - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} + \sqrt {1\left( {4{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \)

\( \le \frac{1}{6}\left( {9 + 12 - \frac{3}{{{x^2}}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {1 + 4{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right) = 2{x^2} - \frac{1}{{2{x^2}}} + 4\)

\( = 4{x^2} - 2\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 2} \right) = 4{x^2} - 2{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} \le 4{x^2}\).

Do đó phương trình xảy ra khi \(12 - \frac{3}{{{x^2}}} = 9;\,\,4{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}} = 1;\,\,x - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) (thỏa mãn).

Cách 2. Đặt \(a = 4{x^2} > 0;\,\,b = \frac{3}{{{x^2}}} > 0 \Rightarrow ab = 12\),

Ta được \(\sqrt {ab - b} + \sqrt {a - b} = a\). Có

\(\sqrt {ab - b} + \sqrt {a - b} = \sqrt {b\left( {a - 1} \right)} + \sqrt {1\left( {a - b} \right)} \le \frac{{b + \left( {a - 1} \right)}}{2} + \frac{{1 + \left( {a - b} \right)}}{2} = a\).

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{4{x^2} - 1 = \frac{3}{{{x^2}}}}\end{array}\\1 = 4{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow 4{x^4} - {x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) (thỏa mãn). Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { \pm 1} \right\}\).