Ông An muốn xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp với dung tích 3 mét khối. Đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng cho mỗi mét vuông. Hỏi chi phí thấp nhất ông An cần bỏ ra để xây bể nước là bao nhiêu?

  

Đáp án

6490123 đồng.

Giải thích

Gọi \(x\,\,(x > 0)\) là chiều rộng của đáy bể, suy ra chiều dài của đáy bể là \(2x\) và gọi \(h\) là chiều cao của bể. Diện tích xây dựng là diện tích toàn phần của bể \(S = 2.2xh + 2.xh + 2.2x.x = 4{x^2} + 6xh\) (1)

Ta có \(V = 3 = 2x.x.h \Rightarrow h = \frac{3}{{2{x^2}}}\,\,\left( 2 \right)\).

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\), ta được hàm \(S\left( x \right) = 4{x^2} + \frac{9}{x}\), với \(x > 0\)

Ta có \(S\left( x \right) = 4{x^2} + \frac{9}{x} = 4{x^2} + \frac{9}{{2x}} + \frac{9}{{2x}} \ge 3\sqrt[3]{{4{x^2}.\frac{9}{{2x}}.\frac{9}{{2x}}}} = 3\sqrt[3]{{81}}\).

Dấu "\( = \)" xảy ra khi và chỉ khi \(4{x^2} = \frac{9}{{2x}} \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt[3]{9}}}{2}\).

Khi đó chi phí thấp nhất là \(3\sqrt[3]{{81}} \times 500000 \approx 6490123\) (đồng).