Cho hàm số bậc bốn y = f(x),  hàm số y = f'(x) có bảng xét dấu như sau:

Hàm số $y = \sqrt{x^2 -2x +2}$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Đáp án:  __

Đáp án

1

Giải thích

Cách 1. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} } \right)\) ta có:

\(g'\left( x \right) = f'\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} } \right).\frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }} = f'\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} } \right).\frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}\)

Ta có:

\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'(\sqrt {{x^2} - 2x + 2} ) = 0}\\{x - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  =  - 1}\\{\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  = 1}\\{\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  = 3}\\{x = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 2x - 7 = 0}\\{x = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2\sqrt 2 }\\{x = 1 + 2\sqrt 2 }\\{x = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)                                                                            

Chú ý rằng khi \(x \to  - \infty \) thì \(\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  \to  + \infty \), nên khi \(x \to  - \infty \) thì \(f'\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} } \right) < 0\), do đó \(g'\left( x \right) > 0\).

Từ đó ta có bảng xét dấu \(g'\left( x \right)\) như sau:

​

Từ đó hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị, trong đó có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.

Cách 2. Ghép trục

Đặt \(u = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \)

​

Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị, trong đó có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.