Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 bằng

An và Bình cùng 7 bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá. Cả 9 bạn được xếp vào 9 ghế theo hàng ngang.

a) Có 5040 cách xếp chỗ ngồi.

b) Có 40320 cách xếp bạn An ngồi chính giữa.

c) Có 80640 cách xếp An và Bình ngồi cạnh nhau.

d) Có 282240 cách xếp An và Bình không ngồi cạnh nhau.

Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + 2\) với \(a \ne 0\), có đồ thị là \(\left( P \right)\). Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:

a) Biết \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {1;0} \right)\) và \(N\left( { - 1;0} \right)\). Khi đó \(a + 2024b =  - 2\);

b) Biết \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(E\left( { - 1;5} \right)\) và có trục đối xứng là \(x = 1\). Khi đó \(2a + b = 1\);

c) Biết \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(F\left( { - 1;6} \right)\) và có tung độ đỉnh bằng \( - \frac{1}{4}\). Khi đó \(ab =  - 36\);

d) Biết \(\left( P \right)\) có đỉnh là điểm \(S\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)\). Khi đó \(\left( {2a + b} \right)\; \vdots \;14\).

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2\sqrt {x + 2}  - 3}}{{x - 1}}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{khi}}}&{x \ge 2}\end{array}}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1}&{{\rm{          khi}}}&{x < 2}\end{array}}\end{array}} \right.\]. Tính \[P = f\left( 2 \right) + f\left( { - 2} \right)\].

Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường tròn \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) và đường thẳng \(d:\,4x - 3y + 2 = 0\). Xét tính đúng sai trong các khẳng đính sau:

a) Đường thẳng \(d\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Khoảng cách giữa hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) bằng \(10\).

c) Đường thẳng \(m:3x + 4y + 14 = 0\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\).

d) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,9} \right)\).

Tung một đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần.Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Số phần tử của không gian mẫu là 6

b) Xác suất để 3 lần gieo trúng mặt sấp là \(\frac{1}{8}\)

c) Xác suất để hai lần nhận được mặt sấp là \(\frac{1}{2}\)

d) Xác suất nhận được ít nhất một mặt sấp \(\frac{7}{8}\)

Phương trình \[\sqrt {{x^2} + 3x - 2}  = \sqrt {1 + x} \] có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có tiêu cự bằng \(2\sqrt {70} \,m\), độ dài trục ảo bằng\(2\sqrt {42} \,m\). Biết chiều cao của tháp là \(120\,m\) và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol là \(\frac{2}{3}\) khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Khi đó bán kính nóc và bán kính đáy của tháp có độ dài lần lượt là \(2\sqrt a \,\left( {\rm{m}} \right)\) và \(2\sqrt b \left( {\rm{m}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b\).