Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có tiêu cự bằng \(2\sqrt {70} \,m\), độ dài trục ảo bằng\(2\sqrt {42} \,m\). Biết chiều cao của tháp là \(120\,m\) và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol là \(\frac{2}{3}\) khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Khi đó bán kính nóc và bán kính đáy của tháp có độ dài lần lượt là \(2\sqrt a \,\left( {\rm{m}} \right)\) và \(2\sqrt b \left( {\rm{m}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b\).

Tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \[{\left( {1 - 2x} \right)^4}\].

An và Bình cùng 7 bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá. Cả 9 bạn được xếp vào 9 ghế theo hàng ngang.

a) Có 5040 cách xếp chỗ ngồi.

b) Có 40320 cách xếp bạn An ngồi chính giữa.

c) Có 80640 cách xếp An và Bình ngồi cạnh nhau.

d) Có 282240 cách xếp An và Bình không ngồi cạnh nhau.

Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + 2\) với \(a \ne 0\), có đồ thị là \(\left( P \right)\). Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:

a) Biết \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {1;0} \right)\) và \(N\left( { - 1;0} \right)\). Khi đó \(a + 2024b =  - 2\);

b) Biết \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(E\left( { - 1;5} \right)\) và có trục đối xứng là \(x = 1\). Khi đó \(2a + b = 1\);

c) Biết \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(F\left( { - 1;6} \right)\) và có tung độ đỉnh bằng \( - \frac{1}{4}\). Khi đó \(ab =  - 36\);

d) Biết \(\left( P \right)\) có đỉnh là điểm \(S\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)\). Khi đó \(\left( {2a + b} \right)\; \vdots \;14\).

Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường tròn \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) và đường thẳng \(d:\,4x - 3y + 2 = 0\). Xét tính đúng sai trong các khẳng đính sau:

a) Đường thẳng \(d\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Khoảng cách giữa hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) bằng \(10\).

c) Đường thẳng \(m:3x + 4y + 14 = 0\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\).

d) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,9} \right)\).

Cho đa giác đều có 15 đỉnh, gọi \(M\) là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập \(M\). Xác suất để chọn được một tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = 20a + 24b\)

Một hộp chứa 11 viên bi được đánh số thứ tự từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi rồi cộng các số trên 3 viên bi đó với nhau. Xác suất để kết quả thu được là số chẵn bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b\)