Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có tiêu cự bằng $2\sqrt {70} \,m$, độ dài trục ảo bằng$2\sqrt {42} \,m$. Biết chiều cao của tháp là $120\,m$ và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol là $\frac{2}{3}$ khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Khi đó bán kính nóc và bán kính đáy của tháp có độ dài lần lượt là $2\sqrt a \,\left( {\rm{m}} \right)$ và $2\sqrt b \left( {\rm{m}} \right)$. Tính giá trị biểu thức $T = a + b$.

$Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có tiêu cự bằng $2\sqrt {70} \,m$, độ dài trục ảo bằng$2\sqrt {42} \,m$ (ảnh 1)$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với $a < c\,,\,{b^2} = {c^2} - {a^2}$.

Ta có: $2c = 2\sqrt {70} \Rightarrow c = \sqrt {70} ;\,2b = 2\sqrt {42} \Rightarrow b = \sqrt {42} ;\,a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} = 2\sqrt 7 $

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{{{x^2}}}{{28}} - \frac{{{y^2}}}{{42}} = 1$.

Gọi khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp là z.

Suy ra khoảng cách từ tâm đối xứng đến nóc tháp là $\frac{2}{3}z$.

Ta có: $z + \frac{2}{3}z = 120 \Rightarrow z = 72$.

Thay $y = 72$ vào phương trình $\frac{{{x^2}}}{{28}} - \frac{{{y^2}}}{{42}} = 1$ ta tìm được $x = \pm 2\sqrt {871} $.

Thay $y = 48$ vào phương trình $\frac{{{x^2}}}{{28}} - \frac{{{y^2}}}{{42}} = 1$ ta tìm được $x = \pm 2\sqrt {391} $.

Vậy bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp lần lượt là: $2\sqrt {391} \left( {\rm{m}} \right)$; $2\sqrt {871} \,\left( {\rm{m}} \right)$

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}a = 391\\b = 871\end{array} \right. \Rightarrow T = 391 + 871 = 1262$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

An và Bình cùng 7 bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá. Cả 9 bạn được xếp vào 9 ghế theo hàng ngang.

a) Có 5040 cách xếp chỗ ngồi.

b) Có 40320 cách xếp bạn An ngồi chính giữa.

c) Có 80640 cách xếp An và Bình ngồi cạnh nhau.

d) Có 282240 cách xếp An và Bình không ngồi cạnh nhau.

Xem đáp án

Lời giải

a) Sai: Xếp tùy ý 9 bạn lên hàng ghé nằm ngang, ta có $9! = 362880$ (cách).

b) Đúng: Xếp bạn An ngồi chính giữa, hoán vị 8 bạn còn lại ta có $8! = 40320$ (cách).

c) Đúng: Xếp chỗ cho An và Bình ngồi cạnh nhau (thành nhóm $X$), số cách xếp trong $X$ là $2!$

Số cách xếp nhóm $X$ với 7 người còn lại (ta xem là hoán vị của 8 phần từ), số cách xếp là 8!.

Số cách xếp hàng thỏa mãn là $2!8! = 80640$ (cách).

d) Đúng: Số cách xếp 9 bạn vào 9 chỗ là 9 ! cách. Vậy số cách xếp để An và Binh không ngồi cạnh nhau là: $9! - 2!8! = 282240$ (cách).

Câu 2

Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + 2$ với $a \ne 0$, có đồ thị là $\left( P \right)$. Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:

a) Biết $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $M\left( {1;0} \right)$ và $N\left( { - 1;0} \right)$. Khi đó $a + 2024b = - 2$;

b) Biết $\left( P \right)$ đi qua điểm $E\left( { - 1;5} \right)$ và có trục đối xứng là $x = 1$. Khi đó $2a + b = 1$;

c) Biết $\left( P \right)$ đi qua điểm $F\left( { - 1;6} \right)$ và có tung độ đỉnh bằng $ - \frac{1}{4}$. Khi đó $ab = - 36$;

d) Biết $\left( P \right)$ có đỉnh là điểm $S\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)$. Khi đó $\left( {2a + b} \right)\; \vdots \;14$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng: $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $M\left( {1;0} \right)$ và $N\left( { - 1;0} \right)$ nên ta được

$\left\{ \begin{array}{l}a + b + 2 = 0\\a - b + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow a + 2024b = - 2$.

b) Sai: $\left( P \right)$ có trục đối xứng là $x = 1 \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow 2a + b = 0\;\left( 1 \right)$

Mặt khác $\left( P \right)$ đi qua điểm $E\left( { - 1;5} \right)$ nên $a - b + 2 = 5 \Leftrightarrow a - b = 3\;\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)$ suy ra $a = 1,\;b = - 2$. Do đó $2a + b = 0$.

c) Sai: $\left( P \right)$ đi qua điểm $F\left( { - 1;6} \right)$ nên $a - b + 2 = 6 \Leftrightarrow a - b = 4 \Leftrightarrow a = b + 4\;\left( 3 \right)$

Lại có $\left( P \right)$ có tung độ đỉnh bằng $ - \frac{1}{4}$ nên

$ - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {b^2} - 8a = a \Rightarrow {b^2} - 9a = 0\;\left( 4 \right)$

Thay $\left( 3 \right)$ vào $\left( 4 \right)$ được ${b^2} - 9\left( {b + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 9b - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 3 \Rightarrow a = 1\\b = 12 \Rightarrow a = 16\end{array} \right.$

Suy ra $ab = - 3$ hoặc $ab = 192$.

d) Đúng: Vì $\left( P \right)$ có đỉnh là điểm $S\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)$ nên hoành độ đỉnh $x = - 1 = - \frac{b}{{2a}} \Rightarrow 2a - b = 0\;\left( 5 \right)$

Lại có $\left( P \right)$ đi qua $S\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)$ nên $a - b + 2 = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow a - b = - \frac{7}{2}\;\left( 6 \right)$

Từ $\left( 5 \right),\;\left( 6 \right)$ ta được $a = \frac{7}{2},\;b = 7 \Rightarrow 2a + b = 14$.

Câu 3