Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường tròn \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) và đường thẳng \(d:\,4x - 3y + 2 = 0\). Xét tính đúng sai trong các khẳng đính sau:

a) Đường thẳng \(d\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Khoảng cách giữa hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) bằng \(10\).

c) Đường thẳng \(m:3x + 4y + 14 = 0\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\).

d) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,9} \right)\).

a) Sai: Xếp tùy ý 9 bạn lên hàng ghé nằm ngang, ta có \(9! = 362880\) (cách).

b) Đúng: Xếp bạn An ngồi chính giữa, hoán vị 8 bạn còn lại ta có \(8! = 40320\) (cách).

c) Đúng: Xếp chỗ cho An và Bình ngồi cạnh nhau (thành nhóm \(X\)), số cách xếp trong \(X\) là \(2!\)

Số cách xếp nhóm \(X\) với 7 người còn lại (ta xem là hoán vị của 8 phần từ), số cách xếp là 8!.

Số cách xếp hàng thỏa mãn là \(2!8! = 80640\) (cách).

d) Đúng: Số cách xếp 9 bạn vào 9 chỗ là 9 ! cách. Vậy số cách xếp để An và Binh không ngồi cạnh nhau là: \(9! - 2!8! = 282240\) (cách).

a) Đúng: \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {1;0} \right)\) và \(N\left( { - 1;0} \right)\) nên ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + 2 = 0\\a - b + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow a + 2024b =  - 2\).

b) Sai: \(\left( P \right)\) có trục đối xứng là \(x = 1 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow 2a + b = 0\;\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(E\left( { - 1;5} \right)\) nên \(a - b + 2 = 5 \Leftrightarrow a - b = 3\;\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)\) suy ra \(a = 1,\;b =  - 2\). Do đó \(2a + b = 0\).

c) Sai: \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(F\left( { - 1;6} \right)\) nên \(a - b + 2 = 6 \Leftrightarrow a - b = 4 \Leftrightarrow a = b + 4\;\left( 3 \right)\)

Lại có \(\left( P \right)\) có tung độ đỉnh bằng \( - \frac{1}{4}\) nên

\( - \frac{\Delta }{{4a}} =  - \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {b^2} - 8a = a \Rightarrow {b^2} - 9a = 0\;\left( 4 \right)\)

Thay \(\left( 3 \right)\) vào \(\left( 4 \right)\) được \({b^2} - 9\left( {b + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 9b - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 3 \Rightarrow a = 1\\b = 12 \Rightarrow a = 16\end{array} \right.\)

Suy ra \(ab =  - 3\) hoặc \(ab = 192\).

d) Đúng: Vì \(\left( P \right)\) có đỉnh là điểm \(S\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)\) nên hoành độ đỉnh \(x =  - 1 =  - \frac{b}{{2a}} \Rightarrow 2a - b = 0\;\left( 5 \right)\)

Lại có \(\left( P \right)\) đi qua \(S\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)\) nên \(a - b + 2 =  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow a - b =  - \frac{7}{2}\;\left( 6 \right)\)

Từ \(\left( 5 \right),\;\left( 6 \right)\) ta được \(a = \frac{7}{2},\;b = 7 \Rightarrow 2a + b = 14\).