Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2\sqrt {x + 2}  - 3}}{{x - 1}}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{khi}}}&{x \ge 2}\end{array}}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1}&{{\rm{          khi}}}&{x < 2}\end{array}}\end{array}} \right.\]. Tính \[P = f\left( 2 \right) + f\left( { - 2} \right)\].

a) Đúng: \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {1;0} \right)\) và \(N\left( { - 1;0} \right)\) nên ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + 2 = 0\\a - b + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow a + 2024b =  - 2\).

b) Sai: \(\left( P \right)\) có trục đối xứng là \(x = 1 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow 2a + b = 0\;\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(E\left( { - 1;5} \right)\) nên \(a - b + 2 = 5 \Leftrightarrow a - b = 3\;\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)\) suy ra \(a = 1,\;b =  - 2\). Do đó \(2a + b = 0\).

c) Sai: \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(F\left( { - 1;6} \right)\) nên \(a - b + 2 = 6 \Leftrightarrow a - b = 4 \Leftrightarrow a = b + 4\;\left( 3 \right)\)

Lại có \(\left( P \right)\) có tung độ đỉnh bằng \( - \frac{1}{4}\) nên

\( - \frac{\Delta }{{4a}} =  - \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {b^2} - 8a = a \Rightarrow {b^2} - 9a = 0\;\left( 4 \right)\)

Thay \(\left( 3 \right)\) vào \(\left( 4 \right)\) được \({b^2} - 9\left( {b + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 9b - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 3 \Rightarrow a = 1\\b = 12 \Rightarrow a = 16\end{array} \right.\)

Suy ra \(ab =  - 3\) hoặc \(ab = 192\).

d) Đúng: Vì \(\left( P \right)\) có đỉnh là điểm \(S\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)\) nên hoành độ đỉnh \(x =  - 1 =  - \frac{b}{{2a}} \Rightarrow 2a - b = 0\;\left( 5 \right)\)

Lại có \(\left( P \right)\) đi qua \(S\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)\) nên \(a - b + 2 =  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow a - b =  - \frac{7}{2}\;\left( 6 \right)\)

Từ \(\left( 5 \right),\;\left( 6 \right)\) ta được \(a = \frac{7}{2},\;b = 7 \Rightarrow 2a + b = 14\).

Đường tròn \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {1\,;\,2} \right)\) và bán kính \(R = 5\).

a) Sai: Ta có \(d\left( {I,\,d} \right) = \left| {\frac{{4.1 - 3.2 + 2}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }}} \right| = 0\)

Vậy đường thẳng \(d\) không tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Đúng: Khoảng cách giữa hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) bằng đường kính nên bằng\(10\).

c) Đúng: Gọi \(m\) là đường thẳng vuông góc với \(d:\,4x - 3y + 2 = 0\). Khi đó \(m\) có dạng \(3x + 4y + C = 0\).

Đường thẳng \(m\)tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\) khi và chỉ khi

\(d\left( {I,m} \right) = R \Leftrightarrow \left| {\frac{{3.1 + 4.2 + C}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {11 + C} \right| = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11 + C = 25\\11 + C =  - 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 14\\C =  - 36\end{array} \right.\)

Suy ra có hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) là

\({m_1}:\,3x + 4y + 14 = 0\) và \({m_2}:\,3x + 4y - 36 = 0\).

d) Đúng: Điểm \(A\left( {0\,;\,9} \right)\) thuộc tiếp tuyến \({m_2}:\,3x + 4y - 36 = 0\).