Đáp án:  __

 

Đáp án

3

Giải thích

​

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(O \equiv A',A'D' \equiv Ox,A'B' \equiv Oy,A'A \equiv Oz\).

\(A'\left( {0;0;0} \right),D'\left( {a;0;0} \right),B'\left( {0;a;0} \right),A\left( {0;0;a} \right),D\left( {a;0;a} \right),B\left( {0;a;a} \right),C'\left( {a;a;0} \right),C\left( {a;a;a} \right)\).

\(M\left( {\frac{x}{{\sqrt 2 }};0;\frac{{a\sqrt 2  - x}}{{\sqrt 2 }}} \right),N\left( {\frac{{a\sqrt 2  - x}}{{\sqrt 2 }};\frac{x}{{\sqrt 2 }};a} \right)\).

\( \Rightarrow M{N^2} = {(\sqrt 2 x - a)^2} + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{2} = 3{x^2} - 2\sqrt 2 ax + {a^2} = 3\left( {{x^2} - 2\frac{{\sqrt 2 }}{3}ax + \frac{{2{a^2}}}{9}} \right) + \frac{{{a^2}}}{3}\).

\( \Rightarrow M{N^2} = 3{\left( {x - \frac{{\sqrt 2 a}}{3}} \right)^2} + \frac{{{a^2}}}{3}\). Vậy \(MN\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow k = \frac{{\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow T = 3\).