a) Giải phương trình: \(\left( {3{x^2} + 4x + 6} \right)\sqrt {3{x^2} + 4x + 5} = 27{x^3} + 3x.\)
b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt y \left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right) = 1\,\,\\y + 4\sqrt y = {x^2} + 3x - 3 - 2\left( {x + 1} \right)\sqrt x .\end{array} \right.\)
a) Giải phương trình: \(\left( {3{x^2} + 4x + 6} \right)\sqrt {3{x^2} + 4x + 5} = 27{x^3} + 3x.\)
b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt y \left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right) = 1\,\,\\y + 4\sqrt y = {x^2} + 3x - 3 - 2\left( {x + 1} \right)\sqrt x .\end{array} \right.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)Đặt \(\sqrt {3{x^2} + 4x + 5} = a\), \(3x = b\)
Khi đó phương trình trở thành:\({a^3} + a = {b^3} + b\)
\( \Leftrightarrow (a - b)({a^2} + ab + {b^2} + 1) = 0 \Leftrightarrow a = b\) (vì \({a^2} + ab + {b^2} + 1 > 0\))
\( \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} + 4x + 5} = 3x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{6{x^2} - 4x - 5 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{2 + \sqrt {34} }}{6}\).
b)ĐKXĐ: \(x \ge 0;\,\,y \ge 0\). PT thứ nhất \( \Leftrightarrow \sqrt y = \sqrt {x + 1} - \sqrt x \) (1).
PT thứ hai \[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt y + 2} \right)^2} = {\left( {x + 1 - \sqrt x } \right)^2}\].
+TH1: \(\sqrt y + 2 = x + 1 - \sqrt x \Leftrightarrow \sqrt y = x - \sqrt x - 1\). Kết kợp với (1):
\(\sqrt {x + 1} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 3x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3;y = 7 - 4\sqrt 3 \) (tmđkxđ).
+TH2: \(\sqrt y + 2 = - x - 1 + \sqrt x \,\)( Vô lý vì \(\sqrt y + 2 > 0;\, - x - 1 + \sqrt x < 0\)).
Vậy \(x = 3;y = 7 - 4\sqrt 3 \).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \(\widehat {BAH} = \widehat {OAC}\) do cùng phụ với \(\widehat {ABC}\), suy ra \[\widehat {PAF} = \widehat {HAC}\].
Có AEPF là tứ giác nội tiếp, suy ra \[\widehat {AEF} = \widehat {APF}\]
Có \[\widehat {APF} = {90^0} - \widehat {PAF}\] và \(\widehat {ACB} = {90^0} - \widehat {HAC}\)\[ \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {ACB} \Rightarrow EF//BC\]
AQEM là tứ giác nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AEF} = \widehat {APN} \Rightarrow \]\(A,M,N,P\) cùng nằm trên một đường tròn.
Ta có \(\widehat {AMN} = \widehat {ACB}\), tương tự \(\widehat {ANM} = \widehat {ABC}\)
\(\widehat {OAH} = \widehat {OAB} - \widehat {HAB} = {90^0} - \widehat {ACB} - \left( {{{90}^0} - \widehat {ABC}} \right)\)
\( = {90^0} - \widehat {AMN} - \left( {{{90}^0} - \widehat {ANM}} \right) = \widehat {KAN} - \widehat {QAN} = \widehat {KAQ}\)
Gọi \(L\) là chân đường vuông góc hạ từ điểm \(A\) xuống đường thẳng \(KD\).
Từ \(\widehat {OAH} = \widehat {KAQ} \Rightarrow \widehat {KAO} = \widehat {KAQ} - \widehat {OAQ} = \widehat {OAH} - \widehat {OAQ} = \widehat {QAH}\).
Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AP\) và J là giao điểm của đường thẳng qua D song song với AQ và đường thẳng qua I vuông góc với BC. \( \Rightarrow \widehat {QAH} = \widehat {JDL}\)
\( \Rightarrow \widehat {ILK} = \widehat {JDL}\), mặt khác ta có IJ//LD nên suy ra tứ giác ILDJ (hoặc IJLD) là hình thang cân.
Suy ra, I và J đối xứng với nhau qua trung trực của DL, hay qua trung trực của AH.Do ALDH là hình chữ nhật (dễ thấy). Từ đây, vì I là điểm cố định và trung trực của AH là đường thẳng cố định nên J là điểm cố định.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử ab ≥ 0. Khi đó
\(P + 3 \ge \frac{{{{\left( {a + b + 2} \right)}^2}}}{{{{(a + b)}^2} + 4}} + \frac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}} = \frac{{{{(c - 2)}^2}}}{{{c^2} + 4}} + \frac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}}\).
Xét BĐT: \(\frac{{{{(c - 2)}^2}}}{{{c^2} + 4}} + \frac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}} \ge \frac{3}{2} \Leftrightarrow {c^2}{\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\) (đúng).
Lời giải
a)Ta có \({(a - b)^2} = {4.5^m} - 20ab \vdots 5\)\[ \Rightarrow (a - b) \vdots 5 \Rightarrow {(a - b)^2} \vdots 25\].
\(a,b \ge 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 18ab = {4.5^m} \ge 80 \Rightarrow m \ge 2\)
\( \Rightarrow 20ab = {(a - b)^2} - {4.5^m} \vdots 25\)\( \Rightarrow 20ab \vdots 25 \Rightarrow ab \vdots 5\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a \vdots 5\\b \vdots 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \vdots 5\\b \vdots 5\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 5;m = 3.\)
b)Gọi \(X\) là tập 4 điểm được gán các số 1, 2, 3, 4 và \(Y\) là tập 4 điểm còn lại. Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại 4 dây cung không có điểm chung, mỗi dây cung nối một điểm của X và một điểm của Y. Một cách nối như vậy thoả mãn yêu cầu bài toán vì tổng các số tương ứng với 4 dây cung này bằng \(5 + 6 + 7 + 8 - 4 - 3 - 2 - 1 = 16\).
Dễ thấy rằng có một điểm của \(X\) nằm kề một điểm của \(Y\). Kẻ dây cung nối 2 điểm này rồi loại bỏ 2 điểm đánh dấu này lẫn dây cung đi, ta còn lại 6 điểm được đánh dấu trên đường tròn và 2 tập con \({X_1}\), \({Y_1}\) tương ứng, mỗi tập gồm 3 điểm được đánh dấu.
Bây giờ, lập luận tương tự, ta cũng suy ra có một điểm của \({X_1}\) kề nhau với một điểm \({Y_1}\) trên đường tròn đã bỏ đi 2 điểm trước đó. Kẻ dây cung nối 2 điểm này rồi loại bỏ 2 điểm đánh dấu này lẫn dây cung đi, ta còn lại 4 điểm được đánh dấu trên đường tròn và 2 tập con\({X_2},\)\({Y_2}\) tương ứng, mỗi tập gồm 2 điểm được đánh dấu.
Lập luận tương tự, ta cũng suy ra có một điểm của \({X_2}\) kề nhau với một điểm \({Y_2}\) trên đường tròn đã bỏ đi 2 điểm trước đó. Kẻ dây cung nối 2 điểm này cũng như dây cung nối 2 điểm còn lại. Bây giờ, khôi phục lại các dây cung ban đầu. Dễ thấy, 4 dây cung được kẻ đôi một không có điểm chung.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
là số chính phương thì phương trình đã cho có \(a\)hai nghiệm cũng là những số chính phương.Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập