Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thoả mãn \(a + b + c = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \frac{{2a - 1}}{{{a^2} + 2}} + \frac{{2b - 1}}{{{b^2} + 2}} + \frac{{2c - 1}}{{{c^2} + 2}} \cdot \)

a)Ta có \({(a - b)^2} = {4.5^m} - 20ab \vdots 5\)\[ \Rightarrow (a - b) \vdots 5 \Rightarrow {(a - b)^2} \vdots 25\].

\(a,b \ge 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 18ab = {4.5^m} \ge 80 \Rightarrow m \ge 2\)

\( \Rightarrow 20ab = {(a - b)^2} - {4.5^m} \vdots 25\)\( \Rightarrow 20ab \vdots 25 \Rightarrow ab \vdots 5\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a \vdots 5\\b \vdots 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \vdots 5\\b \vdots 5\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 5;m = 3.\)

b)Gọi \(X\) là tập 4 điểm được gán các số 1, 2, 3, 4 và \(Y\) là tập 4 điểm còn lại. Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại 4 dây cung không có điểm chung, mỗi dây cung nối một điểm của X và một điểm của Y. Một cách nối như vậy thoả mãn yêu cầu bài toán vì tổng các số tương ứng với 4 dây cung này bằng \(5 + 6 + 7 + 8 - 4 - 3 - 2 - 1 = 16\).

Dễ thấy rằng có một điểm của \(X\) nằm kề một điểm của \(Y\). Kẻ dây cung nối 2 điểm này rồi loại bỏ 2 điểm đánh dấu này lẫn dây cung đi, ta còn lại 6 điểm được đánh dấu trên đường tròn và 2 tập con \({X_1}\), \({Y_1}\) tương ứng, mỗi tập gồm 3 điểm được đánh dấu.

Bây giờ, lập luận tương tự, ta cũng suy ra có một điểm của \({X_1}\) kề nhau với một điểm \({Y_1}\) trên đường tròn đã bỏ đi 2 điểm trước đó. Kẻ dây cung nối 2 điểm này rồi loại bỏ 2 điểm đánh dấu này lẫn dây cung đi, ta còn lại 4 điểm được đánh dấu trên đường tròn và 2 tập con\({X_2},\)\({Y_2}\) tương ứng, mỗi tập gồm 2 điểm được đánh dấu.

Lập luận tương tự, ta cũng suy ra có một điểm của \({X_2}\) kề nhau với một điểm \({Y_2}\) trên đường tròn đã bỏ đi 2 điểm trước đó. Kẻ dây cung nối 2 điểm này cũng như dây cung nối 2 điểm còn lại. Bây giờ, khôi phục lại các dây cung ban đầu. Dễ thấy, 4 dây cung được kẻ đôi một không có điểm chung.

a)     \[A = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{2\sqrt x }} = \frac{{2\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}}\]

.\[\frac{{2\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} \le 2 \Leftrightarrow 2\sqrt x \le 2x - 2\sqrt x + 2 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} \ge 0\]. Vậy \(A \le 2\).

b)Có \(\Delta ' = {(a + 1)^2} - ({a^2} - 2a + 1) = 4a \ge 0\)

.Khi đó \({x_1} = (a + 1) - \sqrt {\Delta '} = (a + 1) - 2\sqrt a = {(\sqrt a - 1)^2}\)

\({x_2} = (a + 1) + \sqrt {\Delta '} = (a + 1) + 2\sqrt a = {(\sqrt a + 1)^2}\).

.Do \(a\) là số chính phương nên \(\sqrt a \) là số nguyên nên \({x_1};\,\,{x_2}\)là số chính phương