a) Tìm các số nguyên tố \(a,\,\,b\) và số nguyên dương \(m\) thoả mãn \({a^2} + {b^2} + 18ab = {4.5^m}.\)

b) Cho 8 điểm phân biệt trên một đường tròn. Đánh số các điểm đó một cách ngẫu nhiên bởi các số \[1,2, \ldots ,8\] (hai điểm khác nhau được đánh số bởi hai số khác nhau). Mỗi dây cung nối hai điểm bất kỳ được gán với giá trị tuyệt đối của hiệu các số ở hai đầu mút. Chứng minh rằng luôn tìm được bốn dây cung, đôi một không có điểm chung, sao cho tổng của các số gán với bốn dây cung đó bằng 16.

Ta có \(\widehat {BAH} = \widehat {OAC}\) do cùng phụ với \(\widehat {ABC}\), suy ra \[\widehat {PAF} = \widehat {HAC}\].

Có AEPF là tứ giác nội tiếp, suy ra \[\widehat {AEF} = \widehat {APF}\]

Có \[\widehat {APF} = {90^0} - \widehat {PAF}\] và \(\widehat {ACB} = {90^0} - \widehat {HAC}\)\[ \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {ACB} \Rightarrow EF//BC\]

AQEM là tứ giác nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AEF} = \widehat {APN} \Rightarrow \]\(A,M,N,P\) cùng nằm trên một đường tròn.

Ta có \(\widehat {AMN} = \widehat {ACB}\), tương tự \(\widehat {ANM} = \widehat {ABC}\)

\(\widehat {OAH} = \widehat {OAB} - \widehat {HAB} = {90^0} - \widehat {ACB} - \left( {{{90}^0} - \widehat {ABC}} \right)\)

\( = {90^0} - \widehat {AMN} - \left( {{{90}^0} - \widehat {ANM}} \right) = \widehat {KAN} - \widehat {QAN} = \widehat {KAQ}\)

Gọi \(L\) là chân đường vuông góc hạ từ điểm \(A\) xuống đường thẳng \(KD\).

Từ \(\widehat {OAH} = \widehat {KAQ} \Rightarrow \widehat {KAO} = \widehat {KAQ} - \widehat {OAQ} = \widehat {OAH} - \widehat {OAQ} = \widehat {QAH}\).

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AP\) và J là giao điểm của đường thẳng qua D song song với AQ và đường thẳng qua I vuông góc với BC. \( \Rightarrow \widehat {QAH} = \widehat {JDL}\)

\( \Rightarrow \widehat {ILK} = \widehat {JDL}\), mặt khác ta có IJ//LD nên suy ra tứ giác ILDJ (hoặc IJLD) là hình thang cân.

Suy ra, I và J đối xứng với nhau qua trung trực của DL, hay qua trung trực của AH.Do ALDH là hình chữ nhật (dễ thấy). Từ đây, vì I là điểm cố định và trung trực của AH là đường thẳng cố định nên J là điểm cố định.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử ab ≥ 0. Khi đó

\(P + 3 \ge \frac{{{{\left( {a + b + 2} \right)}^2}}}{{{{(a + b)}^2} + 4}} + \frac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}} = \frac{{{{(c - 2)}^2}}}{{{c^2} + 4}} + \frac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}}\).

Xét BĐT: \(\frac{{{{(c - 2)}^2}}}{{{c^2} + 4}} + \frac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}} \ge \frac{3}{2} \Leftrightarrow {c^2}{\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\) (đúng).