1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4x + 5} + 2x = \sqrt {2y + 5} + y\\\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2 + \sqrt {y + 3 - {x^2}} \end{array} \right.\).
2) Xét hai số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn \(\frac{1}{x} + \frac{6}{y} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4x + y + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + \frac{{42}}{y}\).
1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4x + 5} + 2x = \sqrt {2y + 5} + y\\\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2 + \sqrt {y + 3 - {x^2}} \end{array} \right.\).
2) Xét hai số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn \(\frac{1}{x} + \frac{6}{y} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4x + y + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + \frac{{42}}{y}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
1) Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 3\\y \ge - \frac{5}{2}\\y + 3 - {x^2} \ge 0\end{array} \right.\]. Phương trình (1) trở thành \(\left( {\sqrt {4x + 5} - \sqrt {2y + 5} } \right) + \left( {2x - y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {2x - y} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt {4x + 5} + \sqrt {2y + 5} }} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 2x\). |
|
Thay vào phương trình (2) ta được \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2 + \sqrt {2x + 3 - {x^2}} \) Đặt \(t = \sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} \Rightarrow \sqrt {2x + 3 - {x^2}} = \frac{{{t^2} - 4}}{2}\) Khi đó \(t = 2 + \frac{{{t^2} - 4}}{2} \Leftrightarrow {t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.\) Với \(t = 0\) ta được \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 0\left( {vn} \right)\). Với \(t = 2\) ta được \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\left( {tm} \right)\\x = 3\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\). Với \(x = - 1 \Rightarrow y = - 2\). Với \(x = 3 \Rightarrow y = 6\). Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( { - 1; - 2} \right)\), \(\left( {3;6} \right)\). |
|
2) Ta có \(P = \left( {4x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) + \left( {y + \frac{{36}}{y}} \right) + \left( {\frac{1}{x} + \frac{6}{y}} \right) = \left( {4x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) + \left( {y + \frac{{36}}{y}} \right) + 2\) Mà \(y + \frac{{36}}{y} \ge 2.6\) |
|
\(4x + \frac{2}{{{x^2}}} = 2x + 2x + \frac{2}{{{x^2}}} \ge 3.2\) Khi đó \(P \ge 20\). Dấu bằng xảy ra khi \(x = 1,y = 6\). Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \(20\). |
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
|
1. a)Với \(m = 0\), phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({x^2} - x - 2 = 0\) |
|
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\). |
|
b) Ta có \(\Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {4m - 2} \right) = 4{m^2} - 12m + 9 = {\left( {2m - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\). |
|
Áp dụng Viet \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = 4m - 2\end{array} \right.\) |
|
Ta có \(x_1^2 + x_2^2 = 13 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 13 \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} - 2\left( {4m - 2} \right) = 13 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0\) |
|
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\left( {tm} \right)\\m = 2\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\). Vậy \(m = - 1\), \(m = 2\). |
|
2) Điều kiện: \( - 1 \le x \le 4\). |
|
Phương trình trở thành \( \Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} + 4 - x = 2x + 9 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = x + 2\) |
|
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\ - {x^2} + 3x + 4 = {x^2} + 4x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\2{x^2} + x = 0\end{array} \right.\) |
|
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( {tm} \right)\\x = - \frac{1}{2}\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\). Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - \frac{1}{2}\), \(x = 0\). |
Lời giải
|
1)\[P = \sqrt {{{\left( {\sqrt {2023} + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt {2024} + 1} \right)}^2}} \] |
|
\[ = \sqrt {2023} + 1 - \left( {\sqrt {2024} + 1} \right) = \sqrt {2023} - \sqrt {2024} \]. |
|
2)Tọa độ giao điểm là \(M\left( { - 1;0} \right)\). |
|
3)Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Từ giả thiết ta có \(2R = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow R = \sqrt 2 \). |
|
Vậy diện tích của hình tròn là \(S = \pi {R^2} = 2\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\). |
|
4)Thể tích của hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.6^2}.8 = 96\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\). |
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập