Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {4; - 2;4} \right),B\left( { - 2;6;4} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 1\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(M\) là điểm di động thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) và \(N\) là điểm di động thuộc \(d.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(MN.\)

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^1 = F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) = - \frac{7}{2}\).

b) \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = - 2} \) mà \(F\left( 0 \right) = 3\) nên \(F\left( 2 \right) = 1\).

c) \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)dx} = \frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx + C\).

d) Vì \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \frac{7}{2}\) nên \(\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = - \frac{7}{2}\) (1) và \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = - 2} \) nên \(\frac{{8a}}{3} + 2b + 2c = - 2\) (2).

Từ (1) và (2), ta có $\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c=-\frac{7}{2}\\ \frac{8a}{3}+2b+2c=-2\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2a+3b+6c=-21\\ 8a+6b+6c=-6\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2a+3b+6c=-21\\ 2a+b=5\end{array}\right.$

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3\left( {5 - 2a} \right) + 6c = - 21\\b = 5 - 2a\end{array} \right.\)\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 3c = - 18\\b = 5 - 2a\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{{ - 18 + 2a}}{3}\\b = 5 - 2a\end{array} \right.\].

Do đó \(a + b + 3c = a + 5 - 2a - 18 + 2a = a - 13\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\).

b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {5; - 3; - 31} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \(\frac{{5 - 11}}{2} = \frac{{ - 3}}{1} = \frac{{ - 31 + 25}}{{ - 2}}\) (sai).

Do đó đường thẳng \(d\) không đi qua điểm \(A\left( {5; - 3; - 31} \right)\).

c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(I\left( {2;3; - 1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\) có phương trình là \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 3} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0\) hay \(2x + y - 2z - 9 = 0\).

d)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \(AB\). Suy ra \(HA = HB = 8\).

Tọa độ điểm \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 2t\\y = t\\z = - 25 - 2t\\2x + y - 2z - 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 2t\\y = t\\z = - 25 - 2t\\2\left( {11 + 2t} \right) + t - 2\left( { - 25 - 2t} \right) - 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 25\\y = 7\\z = - 39\\t = 7\end{array} \right.\).

Suy ra \(H\left( {25;7; - 39} \right)\).

Ta có \(IH = \sqrt {{{\left( {25 - 2} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 39 + 1} \right)}^2}} = 3\sqrt {221} \).

Do đó \(R = \sqrt {I{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {1989 + 64} = \sqrt {2053} \).

Vậy \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2053\).