Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ \(Oxyz\) để theo dõi vị trí của quả bóng M. Cho biết \[M\] đang nằm trên mặt sân có phương trình \(z = 0\), đồng thời thuộc mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 32} \right)^2} + {\left( {y - 50} \right)^2} + {\left( {z - 8} \right)^2} = 100\) (đơn vị độ dài tính theo mét). Tính khoảng cách từ vị trí \(M\) của quả bóng đến điểm \(J\) với \(J\) là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên mặt sân.

Trả lời: 2

\(\left( {Oxy} \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).

\(d\) có 1 vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)\). Nên \(d \bot \left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(P = d \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow P\left( {5; - 1;0} \right)\)

Gọi \(I\)là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow I\left( {1;2;4} \right)\).

\(\widehat {AMB} = 90^\circ \)\( \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\), bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {8^2} + {0^2}} }}{2} = 5.\)

Mà \(M \in \left( {Oxy} \right)\) nên \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) là giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) \[ \Rightarrow H\left( {1;2;0} \right)\].

Suy ra \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \[H\left( {1;2;0} \right)\], bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {25 - 16} = 3\).

Ta có: \(MN \ge MP \ge HP - r = \sqrt {16 + 9} - 3 = 2\).

Vậy \(M{N_{\min }} = 2\).

Dấu “=” xảy ra khi \(N \equiv P\) và \(H,M,P\) thẳng hàng (\(M\) nằm giữa \(H,P\)).

Trả lời: 5,8

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[\sqrt x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4\].

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là

\[V = {\rm{\pi }}\int\limits_4^9 {{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} = {\rm{\pi }}\int\limits_4^9 {\left( {x - 4\sqrt x + 4} \right){\rm{d}}x} = \left. {{\rm{\pi }}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{8}{3}x\sqrt x + 4x} \right)} \right|_4^9 = \frac{{11\pi }}{6} \approx 5,8\].