Tại một khu phố có 100 căn nhà, trong đó có 40 căn nhà gắn biển số lẻ. Biết rằng có 25 căn nhà gắn biển số lẻ và 15 nhà gắn biển số chẵn có ô tô. Chọn ngẫu nhiên một nhà trong khu phố đó. Tính xác suất nhà được chọn gắn biển số lẻ, biết rằng nhà đó không có ô tô.

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^1 = F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) = - \frac{7}{2}\).

b) \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = - 2} \) mà \(F\left( 0 \right) = 3\) nên \(F\left( 2 \right) = 1\).

c) \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)dx} = \frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx + C\).

d) Vì \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \frac{7}{2}\) nên \(\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = - \frac{7}{2}\) (1) và \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = - 2} \) nên \(\frac{{8a}}{3} + 2b + 2c = - 2\) (2).

Từ (1) và (2), ta có $\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c=-\frac{7}{2}\\ \frac{8a}{3}+2b+2c=-2\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2a+3b+6c=-21\\ 8a+6b+6c=-6\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2a+3b+6c=-21\\ 2a+b=5\end{array}\right.$

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3\left( {5 - 2a} \right) + 6c = - 21\\b = 5 - 2a\end{array} \right.\)\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 3c = - 18\\b = 5 - 2a\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{{ - 18 + 2a}}{3}\\b = 5 - 2a\end{array} \right.\].

Do đó \(a + b + 3c = a + 5 - 2a - 18 + 2a = a - 13\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\).

b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {5; - 3; - 31} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \(\frac{{5 - 11}}{2} = \frac{{ - 3}}{1} = \frac{{ - 31 + 25}}{{ - 2}}\) (sai).

Do đó đường thẳng \(d\) không đi qua điểm \(A\left( {5; - 3; - 31} \right)\).

c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(I\left( {2;3; - 1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\) có phương trình là \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 3} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0\) hay \(2x + y - 2z - 9 = 0\).

d)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \(AB\). Suy ra \(HA = HB = 8\).

Tọa độ điểm \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 2t\\y = t\\z = - 25 - 2t\\2x + y - 2z - 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 2t\\y = t\\z = - 25 - 2t\\2\left( {11 + 2t} \right) + t - 2\left( { - 25 - 2t} \right) - 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 25\\y = 7\\z = - 39\\t = 7\end{array} \right.\).

Suy ra \(H\left( {25;7; - 39} \right)\).

Ta có \(IH = \sqrt {{{\left( {25 - 2} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 39 + 1} \right)}^2}} = 3\sqrt {221} \).

Do đó \(R = \sqrt {I{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {1989 + 64} = \sqrt {2053} \).

Vậy \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2053\).