Cho một viên gạch men có dạng hình vuông \(OABC\) như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;1} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( {1;0} \right)\) và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) và \(y = \sqrt[3]{x}\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Suy ra \(F'\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = {e^0} - 2.0 = 1\).

b) Có \(F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} - 2x} \right)dx} = {e^x} - {x^2} + C\).

Mà \(F\left( 0 \right) = 1\) nên \(F\left( 0 \right) = {e^0} - 0 + C = 1 \Rightarrow C = 0\).

Do đó \(F\left( x \right) = {e^x} - {x^2}\). Suy ra \(F\left( 1 \right) = {e^1} - {1^2} = e - 1\).

c) \(\int {F\left( x \right)} dx = \int {\left( {{e^x} - {x^2}} \right)dx} = {e^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + C\).

d) \[\int {\frac{{f\left( x \right)}}{{x{e^x}}}dx = } \int {\frac{{{e^x} - 2x}}{{x{e^x}}}dx = } \int {\left( {\frac{1}{x} - 2{e^{ - x}}} \right)dx} = \ln \left| x \right| + 2{e^{ - x}} + C\].

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2; - 1} \right)\).

b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;1;2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0\) ta được:

\(1 + 2.1 - 2 + 3 = 4 \ne 0\). Do đó điểm \(A \notin \left( P \right)\).

c) \(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.1 - 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 6 }}\).

Phương trình mặt cầu cần tìm là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{{16}}{6} = \frac{8}{3}\).

d) Vì \(\left( Q \right)//\left( P \right)\) nên \(\left( Q \right):x + 2y - z + D = 0\left( {D \ne 3} \right)\).

Vì \(A \in \left( Q \right)\) nên \(1 + 2.1 - 2 + D = 0 \Leftrightarrow D =  - 1\).

Vậy \(\left( Q \right):x + 2y - z - 1 = 0\).