Một nhà máy thực hiện khảo sát toàn bộ công nhân về sự hài lòng của họ về điều kiện làm việc tại phân xưởng, Kết quả khảo sát như sau

Gặp ngẫu nhiên một công nhân của nhà máy. Gọi \(A\) là biến cố “Công nhân đó làm việc tại phân xưởng I” và B là biến cố “Công nhân đó hài lòng với điều kiện làm việc tại phân xưởng”.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Suy ra \(F'\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = {e^0} - 2.0 = 1\).

b) Có \(F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} - 2x} \right)dx} = {e^x} - {x^2} + C\).

Mà \(F\left( 0 \right) = 1\) nên \(F\left( 0 \right) = {e^0} - 0 + C = 1 \Rightarrow C = 0\).

Do đó \(F\left( x \right) = {e^x} - {x^2}\). Suy ra \(F\left( 1 \right) = {e^1} - {1^2} = e - 1\).

c) \(\int {F\left( x \right)} dx = \int {\left( {{e^x} - {x^2}} \right)dx} = {e^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + C\).

d) \[\int {\frac{{f\left( x \right)}}{{x{e^x}}}dx = } \int {\frac{{{e^x} - 2x}}{{x{e^x}}}dx = } \int {\left( {\frac{1}{x} - 2{e^{ - x}}} \right)dx} = \ln \left| x \right| + 2{e^{ - x}} + C\].

Trả lời: 6,5

\(F'\left( x \right) = {e^x}\left( {m\sin x + n\cos x} \right) + {e^x}\left( {m\cos x - n\sin x} \right)\)\( = {e^x}\left[ {\left( {m - n} \right)\sin x + \left( {n + m} \right)\cos x} \right]\).

Vì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}m - n = 2\\m + n = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{1}{2}\\n = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra \(S = {m^2} + {n^2} = \frac{{13}}{2} = 6,5\).