Cho tam giác \[ABC\] nhọn (\[AB < AC\]) nội tiếp đường tròn tâm \[O\]. Hai đường cao \[BD,\,{\rm{ }}CE\] của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại \[H\]. Tia phân giác của góc \[BAC\] cắt đường thẳng \[BD\] và đường tròn \[(O)\] theo thứ tự tại \[M\] và \[I\] (\[I\] khác \[A\]). Đường thẳng \[BD\] cắt đường tròn \[(O)\] tại \[K\] (\[K\] khác \[B\]), hai đường thẳng \[AC\] và \[IK\] cắt nhau tại \[Q\], hai đường thẳng \[QH\] và \[AB\] cắt nhau tại \[P\]. Chứng minh:
a) Tứ giác \[AMQK\] nội tiếp;
b) Tam giác \[APQ\] cân tại A;
c) \[\frac{1}{{BC}} + \frac{1}{{DE}} = \frac{1}{{MQ}}\].
Cho tam giác \[ABC\] nhọn (\[AB < AC\]) nội tiếp đường tròn tâm \[O\]. Hai đường cao \[BD,\,{\rm{ }}CE\] của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại \[H\]. Tia phân giác của góc \[BAC\] cắt đường thẳng \[BD\] và đường tròn \[(O)\] theo thứ tự tại \[M\] và \[I\] (\[I\] khác \[A\]). Đường thẳng \[BD\] cắt đường tròn \[(O)\] tại \[K\] (\[K\] khác \[B\]), hai đường thẳng \[AC\] và \[IK\] cắt nhau tại \[Q\], hai đường thẳng \[QH\] và \[AB\] cắt nhau tại \[P\]. Chứng minh:
a) Tứ giác \[AMQK\] nội tiếp;
b) Tam giác \[APQ\] cân tại A;
c) \[\frac{1}{{BC}} + \frac{1}{{DE}} = \frac{1}{{MQ}}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) \(\widehat {BKI} = \widehat {BAI}\) (nội tiếp (O) cùng chắn )
mà \(\widehat {BAI} = \widehat {IAC}\) \( \Rightarrow \widehat {MAQ} = \widehat {MKQ}\) \( \Rightarrow \) tứ giác AMQK nội tiếp
b) Tứ giác AMQK nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {MQA} = \widehat {MKA}\), lại có \(\widehat {BKA} = \widehat {BCA}\)(nội tiếp (O) cùng chắn \(\widehat {AB}\)) \( \Rightarrow \) \(\widehat {MQA} = \widehat {BCA}\) \( \Rightarrow \) MQ // BC
H là trực tâm của \(\Delta \) ABC nên AH \( \bot \) BC \( \Rightarrow \) MQ \( \bot \) AH
\(\Delta \) AHQ có HD \( \bot \) AQ, MQ \( \bot \) AH nên M là trực tâm \( \Rightarrow \) AM \( \bot \) HQ
\(\Delta \) APQ có AM là phân giác, AM là đường cao nên \(\Delta \) APQ cân tại A.
c) Gọi N là giao điểm của AI và CE. \(\widehat {AIK} = \widehat {ABK}\) (nội tiếp (O) cùng chắn ), \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (cùng phụ với \(\widehat {BAC}\)) \( \Rightarrow \) \(\widehat {NIQ} = \widehat {NCQ}\) \( \Rightarrow \) tứ giác NICQ nội tiếp \( \Rightarrow \)\(\widehat {QNC} = \widehat {QIC}\)
Có \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = {90^0}\) nên tứ giác BEDC nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {DEC} = \widehat {DBC}\), \(\widehat {KBC} = \widehat {KIC}\) (nội tiếp (O) cùng chắn ) \( \Rightarrow \widehat {QNC} = \widehat {DEC}\) \( \Rightarrow \) NQ // ED
Tứ giác NICQ nội tiếp nên \(\widehat {MNQ} = \widehat {QCI}\), tứ giác AMQK nội tiếp nên \(\widehat {QMN} = \widehat {AKQ}\) mà \(\widehat {AKI} = \widehat {ACI}\) (nội tiếp (O) cùng chắn ) \( \Rightarrow \) \(\widehat {QMN} = \widehat {QNM}\) \( \Rightarrow \) \(\Delta \) QMN cân \( \Rightarrow \) QM = QN.
MQ // BC \( \Rightarrow \) \(\frac{{MQ}}{{BC}} = \frac{{DQ}}{{DC}}\), NQ // ED \( \Rightarrow \) \(\frac{{NQ}}{{ED}} = \frac{{CQ}}{{CD}}\), lại có MQ = NQ nên \(\frac{{MQ}}{{BC}} + \frac{{MQ}}{{DE}} = \frac{{DQ}}{{DC}} + \frac{{CQ}}{{CD}} = 1\) \( \Rightarrow \) \(\frac{1}{{BC}} + \frac{1}{{DE}} = \frac{1}{{MQ}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) \[{x^2} - y = {a^2};\,{x^2} + y = {b^2}\] với \[a,\,b\] là các số tự nhiên \[ \Rightarrow 2y = {b^2} - {a^2}\]
Ta có \[{b^2} - {a^2}\] là số chẵn suy ra \[a,\,b\] là hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ\[ \Rightarrow (b - a)(b + a) \vdots 4\] \[ \Rightarrow y \vdots 2\].
b) \[{a^3} - 2{(a + b)^2} = {b^3} + 19 \Leftrightarrow (a - b - 2)({a^2} + ab + {b^2}) = 2ab + 19\]
Vì \(2ab + 19 > 0,{\rm{ }}{a^2} + ab + {b^2} > 0 \Rightarrow a - b - 2 \ge 1\)\( \Rightarrow a - b \ge 3\)
Từ \[a - b - 2 \ge 1 \Rightarrow {a^2} + ab + {b^2} \le 2ab + 19\]\( \Rightarrow {\left( {a - b} \right)^2} < 19\)\( \Rightarrow a - b \le 4\)
Vì \(2ab + 19\) lẻ \( \Rightarrow a - b - 2\) lẻ \( \Rightarrow a - b\) lẻ \( \Rightarrow \) \(a - b = 3\)
Từ \(a - b = 3 \Rightarrow {b^2} + 3b - 10 = 0\)\( \Rightarrow b = - 5\) (loại) hoặc \(b = 2\). Vậy \(b = 2;a = 5\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
Do đẳng thức \[\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right) = {\left( {xz + yt} \right)^2} + {\left( {xt - yz} \right)^2}\] nên sau mỗi lần biến đổi, các số trên bảng luôn có dạng \[{a^2} + {b^2}\] |
|
Do \[{a^2} \equiv 0,\,1,\,4\,{\rm{ }}(\bmod 8)\] nên \[{a^2} + {b^2} \equiv 0,\,1,\,2,\,4,\,5{\rm{ }}\,(\bmod 8)\] |
|
Vì \[{26.3^{2023}} \equiv {26.3.9^{1011}} \equiv 6{\rm{ }}\,(\bmod 8)\] nên số \[{26.3^{2023}}\] không có trên bảng. |
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập