Trên bảng cho 2023 số nguyên phân biệt, mỗi số đều có dạng \[{a^2} + {b^2}\] trong đó \[a,\,{\rm{ }}b\] là các số nguyên. Mỗi lần ta thực hiện một phép biến đổi như sau: Xóa hai số tùy ý rồi viết thêm một số bằng tích của hai số vừa xóa. Hỏi sau một số lần biến đổi, trên bảng có số bằng \[{26.3^{2023}}\] hay không? Giải thích tại sao?

a) Cho \[x,\,y\] là các số nguyên dương thỏa mãn \[{x^2} - y\] và \[{x^2} + y\] đều là các số chính phương. Chứng minh \[y\] là số chẵn.

b) Tìm các số nguyên dương \[a,\,b\] thỏa mãn \[{a^3} - 2{(a + b)^2} = {b^3} + 19\].

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{5 + 4\sqrt x }}{{2x + 5\sqrt x  - 12}} - \frac{2}{{2\sqrt x  - 3}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 4}}} \right):\left( {\sqrt x  + \frac{{5 - 6\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}}} \right)\) với \[x \ge 0,\,x \ne \frac{9}{4}.\]

a) Rút gọn biểu thức \[P.\]

b) Tìm giá trị lớn nhất của \[P.\]

Cho tam giác \[ABC\] nhọn (\[AB < AC\]) nội tiếp đường tròn tâm \[O\]. Hai đường cao \[BD,\,{\rm{ }}CE\] của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại \[H\]. Tia phân giác của góc \[BAC\] cắt đường thẳng \[BD\] và đường tròn \[(O)\] theo thứ tự tại \[M\] và \[I\] (\[I\] khác \[A\]). Đường thẳng \[BD\] cắt đường tròn \[(O)\] tại \[K\] (\[K\] khác \[B\]), hai đường thẳng \[AC\] và \[IK\] cắt nhau tại \[Q\], hai đường thẳng \[QH\] và \[AB\] cắt nhau tại \[P\]. Chứng minh:

a) Tứ giác \[AMQK\] nội tiếp;

b) Tam giác \[APQ\] cân tại A;

c) \[\frac{1}{{BC}} + \frac{1}{{DE}} = \frac{1}{{MQ}}\].

a) Giải phương trình \[{x^2} + x - 6 = 3(x - 2)\sqrt {x + 1} .\]

b) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x - xy + y + 1 = 0\\{x^2} + 3x - \sqrt {{y^2} + 5x - 1}  - 2 = 0\end{array} \right.\].