Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = c, AC = b. Vẽ đường tròn tâm O1 đường kính AB và đường tròn tâm O2 đường kính AC. Gọi H là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2). Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt các đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại các điểm D, E không trùng với A sao cho A nằm giữa D,E.

a) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng (d) thay đổi.

b) Xác định vị trí của đường thẳng (d) để diện tích tứ giác BDEC đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo b,c.

c) Kẻ đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn DE và vuông góc với BC tại K. Chứng minh rằng

\(K{B^2} = B{D^2} + K{H^2}\)

 

a) Từ giả thiết ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 3xy}\\{{x^3} + {y^3} = 10xy}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 3xy\left( {x + y} \right) \Rightarrow {x^3} + {y^3} + xy\left( {x + y} \right) = 3xy\left( {x + y} \right)\\{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}  \Leftrightarrow 10xy = 2xy\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow x + y = 5\left( {x,y \ne 0} \right)\end{array}\)                                                 Ta có \({\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy = 5xy \Rightarrow xy = 5 \Rightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1\)(đpcm)

a)     Theo định lý Bezout: \(P\left( x \right) - 6 = S\left( x \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\)

Do P bậc 3 \( \Rightarrow S\left( x \right) = a\). và \(P\left( { - 1} \right) = a\left( { - 2} \right)\left( { - 3} \right)\left( { - 4} \right) + 6 =  - 18 \Rightarrow a = 1\)

Suy ra \(P\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 6 = {x^3} - 6{x^2} + 11x\)

Thử lại ta thấy đúng.

Vậy \(P\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 11x\)

c) Đặt \(\left( {\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c } \right) = \left( {x,y,z} \right)\)điều kiện: \(x,y,z \ge 0\)

    \( \Rightarrow x + y + z = 8;{x^2} + {y^2} + {z^2} = 26;{x^2}{y^2}{z^2} = 144\)      

\( \Rightarrow x + y + z = 8;xy + yz + zx = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}}{2} = 19;xyz = 12\)(Do \(x,y,z \ge 0\))

Ta có:\(P = \frac{1}{{yz - x + 9}} + \frac{1}{{xz - y + 9}} + \frac{1}{{xy - z + 9}}\)                             

Ta có: \(yz - x + 9 = yz - x + x + y + z + 1 = \left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\)

Tương tự: \(xz - y + 9 = \left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right);xy - z + 9 = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{x + 1 + y + 1 + z + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)}} = \)\(\frac{{x + y + z + 3}}{{xyz + x + y + z + xy + yz + xz + 1}}\) = \(\frac{{11}}{{12 + 19 + 8 + 1}}\) = \(\frac{{11}}{{40}}\)

Vậy P = \(\frac{{11}}{{40}}\)