Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Do \(p\) nguyên tố \(p > 3 \Rightarrow p\) không là bội của 3 và 2
\( \Rightarrow {p^2} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\) và p2 \( \equiv \) 1 (mod8)\( \Rightarrow {p^2} - 1 \vdots 3\) và 8 suy ra \( \Rightarrow {p^2} - 1 \vdots 24\)
Vì \(\left( {3,8} \right) = 1\) nên \(\left( {7 - p} \right)\left( {7 + p} \right) = 49 - {p^2} = 48 - \left( {{p^2} - 1} \right) \vdots 24\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:
\(\frac{{2x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + xy + yz + zx} }} = \frac{{2x}}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }}\) \( \le \) \(\frac{x}{{x + y}} + \frac{x}{{x + z}}\)
\(\frac{y}{{\sqrt {{y^2} + xy + yz + zx} }} = \frac{y}{{\sqrt {\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)} }}\) \( \le \) \(\frac{1}{4}.\frac{y}{{y + z}} + \frac{x}{{y + x}}\)
\(\frac{z}{{\sqrt {{z^2} + xy + yz + zx} }} = \frac{z}{{\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)} }}\) \( \le \) \(\frac{1}{4}.\frac{z}{{z + y}} + \frac{x}{{z + x}}\)
\(\frac{{2x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \frac{z}{{\sqrt {{z^2} + 1} }}\) \( \le \) 1 + 1 + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{9}{4}\) (1)
Và ta có: \({x^2} + 28{y^2} + 28{z^2} = \frac{1}{2}{\left( {x - 7x} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {x - 7z} \right)^2} + \frac{7}{2}{\left( {y - z} \right)^2} + 7 \ge 7{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 2 \right)\)
Dấu "=" của các bất đẳng thức (1), (2) xảy ra khi \(x = 7y = 7z\)và \(xy + yz + zx = 1\) khi và chỉ khi
\(y = z = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\);\(x = \frac{{7\sqrt {15} }}{{15}}\)
Từ (1), (2) có \(P < \frac{9}{4} - 7 = - \frac{{19}}{4}\) suy ra MaxP = 7 \( \Leftrightarrow y = z = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\;\); \(x = \frac{{7\sqrt {15} }}{{15}}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Gọi M là trung điểm \(BC \Rightarrow M{O_1} = \frac{1}{2}AC;M{O_2} = \frac{1}{2}AB.\)
Do D thuộc đường tròn đường kính AB nên tam giác ADB vuông tại D.
\( \Rightarrow D{O_1} = \frac{1}{2}AB = M{O_2}.\)Tương tự thì \(E{O_2} = M{O_1}\)
Có tam giác ABC vuông tại A (giả thiết). \(\widehat {ADB} + \widehat {EAC} = {90^o}\)
Mà tam giác DAB vuông tại D nên \(\widehat {ADB} + \widehat {DBA} = {90^o}\) \(\widehat {EAC} = \widehat {ABD} \Rightarrow 2\widehat {EAC} = 2\widehat {ABD} \Rightarrow \widehat {D{O_1}A} = \widehat {E{O_2}C} \Rightarrow \widehat {D{O_1}B} = \widehat {E{O_2}A}\)
Dễ thấy \(M{O_1}//AC,M{O_2}//AB \Rightarrow \widehat {M{O_1}B} = \widehat {M{O_2}A} = {90^o} \Rightarrow \widehat {M{O_1}D} = \widehat {M{O_2}E}\)
Xét \(\Delta M{O_1}D\) và \(\Delta E{O_2}M\) có:
\(M{O_1} = E{O_2}\) (cmt)
\(\widehat {D{O_1}M} = \widehat {M{O_2}E}\) (cmt)
\(D{O_1} = M{O_2}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta M{O_1}D = \)\(\Delta E{O_2}M\) (c.g.c)
\( \Rightarrow MD = ME\) (2 cạnh tương ứng).
\( \Rightarrow M\) thuộc trung trực DE. Do đó trung trực DE luôn đi qua M cố định (đpcm).
b) Có \(2{S_{BDEC}} = 2{S_{BDA}} + 2{S_{BAC}} + 2{S_{AEC}} = DB.DA + AB.AC + EA.EC \le \frac{1}{2}\left( {B{D^2} + D{A^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {E{A^2} + E{C^2}} \right) + bc\) \(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) + bc = \frac{1}{2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + bc = \frac{1}{2}{\left( {b + c} \right)^2}\\ \Rightarrow {S_{BDEC}} \le \frac{1}{4}{\left( {b + c} \right)^2} \Rightarrow Max = \frac{1}{4}{\left( {b + c} \right)^2}\end{array}\)
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow DA = DB,EA = EC. \Leftrightarrow \) d tạo với AB một góc 45°.
c) Ta có điều phải chứng minh: \(K{B^2} = B{D^2} + K{H^2} \Leftrightarrow I{B^2} - K{I^2} = I{B^2} - I{D^2} + I{H^2} - I{K^2} \Leftrightarrow I{H^2} = I{D^2} \Rightarrow IH = ID = IE\)
Do đó tam giác DHE vuông tại H.
Thật vậy, có \(\widehat {DHB} + \widehat {EHC} = \widehat {DAB} + \widehat {EAC} = {90^o} \Rightarrow \widehat {DHE} = {90^o}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập