a) Cho các số thực x,y khác 0, thoả mãn: \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 3\) và \(\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} = 10\).
Chứng minh \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1\)
b) Cho đa thức bậc 3 \(P\left( x \right)\)thoả mãn khi chia \(P\left( x \right)\) cho \(x - 1,x - 2,x - 3\) đều được số dư là 6 và
\(P\left( { - 1} \right) = - 18\). Tìm đa thức \(P\left( x \right)\)
c) Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện: \(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \;\)= 8; \(a + b + c = 26;abc = 144\). Tính giá trị biểu thức: P = \(\frac{1}{{\sqrt {bc} - \sqrt a + 9}} + \frac{1}{{\sqrt {ca} - \sqrt b + 9}} + \frac{1}{{\sqrt {ab} - \sqrt c + 9}}\)
a) Cho các số thực x,y khác 0, thoả mãn: \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 3\) và \(\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} = 10\).
Chứng minh \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1\)
b) Cho đa thức bậc 3 \(P\left( x \right)\)thoả mãn khi chia \(P\left( x \right)\) cho \(x - 1,x - 2,x - 3\) đều được số dư là 6 và
\(P\left( { - 1} \right) = - 18\). Tìm đa thức \(P\left( x \right)\)
c) Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện: \(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \;\)= 8; \(a + b + c = 26;abc = 144\). Tính giá trị biểu thức: P = \(\frac{1}{{\sqrt {bc} - \sqrt a + 9}} + \frac{1}{{\sqrt {ca} - \sqrt b + 9}} + \frac{1}{{\sqrt {ab} - \sqrt c + 9}}\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Từ giả thiết ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 3xy}\\{{x^3} + {y^3} = 10xy}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 3xy\left( {x + y} \right) \Rightarrow {x^3} + {y^3} + xy\left( {x + y} \right) = 3xy\left( {x + y} \right)\\{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \Leftrightarrow 10xy = 2xy\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow x + y = 5\left( {x,y \ne 0} \right)\end{array}\) Ta có \({\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy = 5xy \Rightarrow xy = 5 \Rightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1\)(đpcm)
a) Theo định lý Bezout: \(P\left( x \right) - 6 = S\left( x \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\)
Do P bậc 3 \( \Rightarrow S\left( x \right) = a\). và \(P\left( { - 1} \right) = a\left( { - 2} \right)\left( { - 3} \right)\left( { - 4} \right) + 6 = - 18 \Rightarrow a = 1\)
Suy ra \(P\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 6 = {x^3} - 6{x^2} + 11x\)
Thử lại ta thấy đúng.
Vậy \(P\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 11x\)
c) Đặt \(\left( {\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c } \right) = \left( {x,y,z} \right)\)điều kiện: \(x,y,z \ge 0\)
\( \Rightarrow x + y + z = 8;{x^2} + {y^2} + {z^2} = 26;{x^2}{y^2}{z^2} = 144\)
\( \Rightarrow x + y + z = 8;xy + yz + zx = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}}{2} = 19;xyz = 12\)(Do \(x,y,z \ge 0\))
Ta có:\(P = \frac{1}{{yz - x + 9}} + \frac{1}{{xz - y + 9}} + \frac{1}{{xy - z + 9}}\)
Ta có: \(yz - x + 9 = yz - x + x + y + z + 1 = \left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\)
Tương tự: \(xz - y + 9 = \left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right);xy - z + 9 = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{x + 1 + y + 1 + z + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)}} = \)\(\frac{{x + y + z + 3}}{{xyz + x + y + z + xy + yz + xz + 1}}\) = \(\frac{{11}}{{12 + 19 + 8 + 1}}\) = \(\frac{{11}}{{40}}\)
Vậy P = \(\frac{{11}}{{40}}\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Điều kiện: \(x \ge \frac{6}{5}\)
Từ giả thiết ta có: \( - {x^2} + 5x - 6 = 4x\left( {\sqrt {5x - 6} - x} \right)\) \( \Leftrightarrow - {x^2} + 5x - 6 = 4x.\frac{{ - {x^2} + 5x - 6}}{{\sqrt {5x - 6} + x}}\)
Vì \(x \ge \frac{6}{5}\) nên phương trình tương đương: \( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {1 - \frac{{ - {x^2} + 5x - 6}}{{x + \sqrt {5x - 6} }}} \right) = 0\)
Do đó x = 2 hoặc x = 3 (thoả mãn điều kiện) hoặc: \(3x = \sqrt {5x - 6\;} \) (*)
Giải phương trình (*): \(9{x^2} = 5x - 6 \Leftrightarrow x\left( {x - \frac{5}{9}} \right) + \frac{2}{3} = 0\) ( vô nghiệm vì x ≥ \(\frac{6}{5}\) > \(\frac{5}{9}\))
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 và x = 3
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} - x{y^2} - 6y = 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 1 \right)}\\{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right) = 3\left( {xy + 2} \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Xét (2): \(\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right) = 3\left( {xy + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2{y^2} = 6\)
Từ (1): \({x^3} - x{y^2} - y\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} - x{y^2} - {\rm{y}}{{\rm{x}}^2} - 2{y^3} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = 0\)
Ta để ý (x, y) = (0,0) không là nghiệm của hệ
do đó \({x^2} + xy + {y^2} = {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}{y^2} > 0\).
Vậy \(x = 2y \Rightarrow 6{y^2} = 6 \Rightarrow y = \pm 1\)
Nếu \(y = 1 \Rightarrow x = 2\) (Thử lại thoả mãn )
Nếu \(y = - 1 \Rightarrow x = - 2\)(Thử lại thoả mãn)
Vậy (x,y) = (2,1) và (x,y) = (−2,−1) là nghiệm của hệ.
Lời giải
a) Gọi M là trung điểm \(BC \Rightarrow M{O_1} = \frac{1}{2}AC;M{O_2} = \frac{1}{2}AB.\)
Do D thuộc đường tròn đường kính AB nên tam giác ADB vuông tại D.
\( \Rightarrow D{O_1} = \frac{1}{2}AB = M{O_2}.\)Tương tự thì \(E{O_2} = M{O_1}\)
Có tam giác ABC vuông tại A (giả thiết). \(\widehat {ADB} + \widehat {EAC} = {90^o}\)
Mà tam giác DAB vuông tại D nên \(\widehat {ADB} + \widehat {DBA} = {90^o}\) \(\widehat {EAC} = \widehat {ABD} \Rightarrow 2\widehat {EAC} = 2\widehat {ABD} \Rightarrow \widehat {D{O_1}A} = \widehat {E{O_2}C} \Rightarrow \widehat {D{O_1}B} = \widehat {E{O_2}A}\)
Dễ thấy \(M{O_1}//AC,M{O_2}//AB \Rightarrow \widehat {M{O_1}B} = \widehat {M{O_2}A} = {90^o} \Rightarrow \widehat {M{O_1}D} = \widehat {M{O_2}E}\)
Xét \(\Delta M{O_1}D\) và \(\Delta E{O_2}M\) có:
\(M{O_1} = E{O_2}\) (cmt)
\(\widehat {D{O_1}M} = \widehat {M{O_2}E}\) (cmt)
\(D{O_1} = M{O_2}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta M{O_1}D = \)\(\Delta E{O_2}M\) (c.g.c)
\( \Rightarrow MD = ME\) (2 cạnh tương ứng).
\( \Rightarrow M\) thuộc trung trực DE. Do đó trung trực DE luôn đi qua M cố định (đpcm).
b) Có \(2{S_{BDEC}} = 2{S_{BDA}} + 2{S_{BAC}} + 2{S_{AEC}} = DB.DA + AB.AC + EA.EC \le \frac{1}{2}\left( {B{D^2} + D{A^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {E{A^2} + E{C^2}} \right) + bc\) \(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) + bc = \frac{1}{2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + bc = \frac{1}{2}{\left( {b + c} \right)^2}\\ \Rightarrow {S_{BDEC}} \le \frac{1}{4}{\left( {b + c} \right)^2} \Rightarrow Max = \frac{1}{4}{\left( {b + c} \right)^2}\end{array}\)
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow DA = DB,EA = EC. \Leftrightarrow \) d tạo với AB một góc 45°.
c) Ta có điều phải chứng minh: \(K{B^2} = B{D^2} + K{H^2} \Leftrightarrow I{B^2} - K{I^2} = I{B^2} - I{D^2} + I{H^2} - I{K^2} \Leftrightarrow I{H^2} = I{D^2} \Rightarrow IH = ID = IE\)
Do đó tam giác DHE vuông tại H.
Thật vậy, có \(\widehat {DHB} + \widehat {EHC} = \widehat {DAB} + \widehat {EAC} = {90^o} \Rightarrow \widehat {DHE} = {90^o}\)
Do đó tam giác DHE vuông tại H, tức KB2 = BD2 + KH2 (đpcm).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập