Có 40 tấm thẻ kích thước như nhau và đánh số thứ tự lần lượt từ 1 đến 40 (mỗi tấm thẻ chỉ ghi một số nguyên dương, hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau). Một người lần lượt rút hai thẻ (rút không hoàn lại). Tính xác suất lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố.

Trả lời: 7,53

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{{\cos }^2}\frac{x}{2} + \sin x} \right)} dx\)\( = \int {\left( {3\frac{{1 + \cos x}}{2} + \sin x} \right)} dx\)

\[ = \int {\left( {\frac{3}{2} + \frac{{3\cos x}}{2} + \sin x} \right)} dx\]\[ = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}\sin x - \cos x + C\].

Vì \(F\left( 0 \right) = 5\) nên \[F\left( 0 \right) = - 1 + C = 5 \Rightarrow C = 6\].

Do đó \[F\left( x \right) = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}\sin x - \cos x + 6\].

Vậy \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{3}{2}.\frac{\pi }{4} + \frac{3}{2}\sin \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{4} + 6 \approx 7,53\].

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t\) giây là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} \).

b) \(v\left( t \right) = \int {\frac{1}{{{t^2} + 3t + 2}}dt} \)\( = \int {\frac{1}{{\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}}dt} \)\( = \int {\left( {\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{{t + 2}}} \right)dt} \)\( = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + C\).

Mà \({v_0} = 3\ln 2\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) nên \(\ln \frac{1}{2} + C = 3\ln 2 \Rightarrow C = 4\ln 2\).

Do đó \(v\left( t \right) = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + 4\ln 2\).

c) Có \(v\left( {10} \right) = \ln \frac{{11}}{{12}} + 4\ln 2 \approx 2,69\;{\rm{m/s}}\).

d) \(v\left( t \right) = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + 4\ln 2 = 4\ln 2\)\( \Rightarrow \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| = 0\)\( \Rightarrow \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| = 1\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{t + 1}}{{t + 2}} = 1\\\frac{{t + 1}}{{t + 2}} = - 1\end{array} \right.\) vô nghiệm.

Do đó không có thời điểm nào vận tốc của vật đạt \(v = 4\ln 2\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).