Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) tam giác \(BCD\) cân tại \(D.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC.\) Mặt phẳng \(\left( {AID} \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?          

Gọi \(O\) là tâm của hình chữ nhật \(ABCD\).

Ta có \(AC \cap \left( {SBD} \right) = O\) nên \(\frac{{d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{CO}}{{AO}} = 1\) (vì \(O\) là trung điểm \(AC\)).

Suy ra \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\).

Gọi \(H\), \(I\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(BD\), \(SH\), ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot SH\\AI \bot BD\,\,\,\,\left( {{\rm{do }}BD \bot AH,\,BD \bot SA \Rightarrow BD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BD \bot AI} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(AI \bot \left( {SBD} \right)\)            (vì \(SH \cap BD = H\) và \(SH,BD \subset \left( {SBD} \right)\)).

Do đó, \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AI\).

Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) với \(AH\) là đường cao, ta có

\(AH = \frac{{AB \cdot AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a \cdot a\sqrt 3 }}{{\sqrt {3{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) với \(AI\) là đường cao, ta có

\(AI = \frac{{AH \cdot AS}}{{\sqrt {A{H^2} + A{S^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot a\sqrt 3 }}{{\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + 3{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

a) Ta có \(ABCD\) là hình chóp tứ giác đều, \(O\) là tâm của đáy \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Từ đó suy ra hình chiếu vuông góc của \(\Delta SBC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\Delta OBC\).                           

b) Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SDC} \right)\).

Ta có \(\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {SDC} \right)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2d\left( {O,\left( {SDC} \right)} \right)}}{{SA}}\).

Dựng \(OI \bot CD\) tại \(I\), \(OK \bot SI\) tại \(K\) \( \Rightarrow OK = d\left( {O,\left( {SDC} \right)} \right)\).

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow OI = \frac{a}{2}\).

Ta có: \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow OK = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

\(SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) \( \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{{\sqrt {30} }} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {\frac{7}{{15}}} \).