1) Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {{x^2} + 2x + 2021} \right)^{2024}}\) tại \(x = \sqrt {\frac{2}{{x - \sqrt {15} }}} - \frac{4}{{\sqrt 5 - 1}}\)
2) Giải phương trình \(2{x^2} + 2x - 1 = 3x\sqrt {2x - 1} .\)
3) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^3} = 2x + 4y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{2{x^3} + {y^3} = 3x + 3y\;\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
1) Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {{x^2} + 2x + 2021} \right)^{2024}}\) tại \(x = \sqrt {\frac{2}{{x - \sqrt {15} }}} - \frac{4}{{\sqrt 5 - 1}}\)
2) Giải phương trình \(2{x^2} + 2x - 1 = 3x\sqrt {2x - 1} .\)
3) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^3} = 2x + 4y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{2{x^3} + {y^3} = 3x + 3y\;\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1)Ta có:
\(x = \;\sqrt {\frac{2}{{4 - \sqrt {15} }}} - \frac{4}{{\sqrt 5 - 1}}\)\( = \sqrt {8 + 2\sqrt {15} } - \frac{{4\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}\)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \left( {\sqrt 5 + 1} \right)\)
\( = \sqrt 5 + \sqrt 3 - \sqrt 5 - 1 = \sqrt 3 - 1\)
Suy ra \({\left( {x + 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 2\)
Do đó \(P = {\left( {{x^2} + 2x + 2021} \right)^{2024}} = {2023^{2024}}.\)
2) Giải phương trình \(2{x^2} + 2x - 1 = 3x\sqrt {2x - 1} .\)
2)Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{2}.\)
Đặt \(t = \sqrt {2x - 1} \ge 0\), phương trình đã cho trở thành
\(2{x^2} + {t^2} = 3xt \Leftrightarrow {t^2} - 3xt + 2{x^2} = 0\; \Leftrightarrow \left( {t - x} \right)\left( {t - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = x}\\{t = 2x}\end{array}} \right.\)
Với \(t = x,\;x \ge \frac{1}{2}\) nên \(\sqrt {2x - 1} = x \Leftrightarrow 2x - 1 = {x^2} \Leftrightarrow x = 1.\)
Với \(t = 2x,\;x \ge \frac{1}{2}\) nên \(\sqrt {2x - 1} = 2x \Leftrightarrow 2x - 1 = 4{x^2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 2x + 1 = 0,\) phương trình vô nghiệm do \(\Delta ' < 0\)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ 1 \right\}.\)
3)Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta được
\({x^3} - {y^3} = - x + y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + x - y = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y\) do \({x^2} + xy + {y^2} + 1 = {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} + 1 > 0,\;\forall x,y\)
Thay \(y = x\;\) vào phương trình (1), ta được \(3{x^3} = 6x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\;\;\;\;\;\;}\\{x = \pm \sqrt 2 .}\end{array}} \right.\)
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\left( {0;} \right);(\sqrt 2 ;\sqrt 2 ;( - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right\}\).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1) Chứng minh CDEH là một tứ giác nội tiếp.
Ta có
· \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
· \(OB = OC\;\)(bán kính (O)) nên AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
· \(\Delta ABC\) có D là trung điểm AC, H là trung điểm BC nên HD là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra \(HD//AB\).
Khi đó \(\widehat {HDE} = \widehat {ABE} = \widehat {BCE} = \widehat {HCE} = \frac{1}{2}\;sd\;\widehat {BE}\)
Do đó, tứ giác CDEH nội tiếp.
2) Chứng minh rằng \(D{A^2} = DE.DB\)
Xét \(\Delta DCE\) và \(\Delta DBC\) ta có
\(\widehat {EDC}\;\) chung
\(\widehat {DCE} = \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\;sd\;\widehat {BE}\)
Suy ra (g-g)
Do đó \(\frac{{{\rm{DC}}}}{{{\rm{DB}}}} = \frac{{{\rm{DE}}}}{{{\rm{DC}}}}.\) Suy ra \(D{C^2} = DE.DB\)
Mặt khác, do \(DA = DC\) nên \(D{A^2} = DE.DB\)
3) Gọi F là giao điểm thứ hai của AE với đường tròn (O). Chứng minh OC là đường trung trực của đoạn thẳng BF.
· Từ \(D{A^2} = DE.DB\) nên ta có \(\frac{{DA}}{{DE}} = \frac{{DB}}{{DA}}\)
· Xét hai tam giác \(DAE\) và tam giác \(DBA\) có
+) \(\widehat {EDA}\;\) chung;
+) \(\frac{{DA}}{{DE}} = \frac{{DB}}{{DA}}\)
Do đó
· Suy ra \(\widehat {EAD\;} = \widehat {DBA} = \widehat {DFA} = \frac{1}{2}sd\widehat {BE}\), do đó \(BF//AC.\)
· Mà \(OC \bot AC\) nên \(OC \bot BF\).
· Mặt khác, \(OF = OB\) (bán kính của (O)) nên OC là đường trung trực của đoạn thẳng BF.
Lời giải
a) Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai số \(p,q\) là bội của 3
· Giả sử trong hai số \(p,q\) không có số nào chia hết cho 3.
· Khi đó \({p^2},\;{q^2}\) chia 3 dư 1. Suy ra:
+) \({p^2} + {q^2}\;\) chia 3 dư 2;
+) Trong khi vế phải \(2\left( {3pq - 4} \right) = 6pq - 9 + 1\) chia 3 dư 1, vô lý
· Do đó tromg hai số \(p,q\) phải có ít nhất một số là bội của 3.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {p,q} \right)\) thỏa (*)
· Do vai trò của \(p,q\) như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử \(q\) là bội của 3.
· Do \(q\) nguyên tố nên \(q = 3\)
· Khi đó từ (*) ta có \({p^2} + 9 = 2\left( {2p - 4} \right) \Leftrightarrow {p^2} - 18p + 17 = 0 \Leftrightarrow p = 1\) hoặc \(p = 17\)
· Do \(p\) nguyên tố nên \(p = 17.\)
Vậy các cặp số \(\left( {p;q} \right)\) thỏa mãn (*) là \(\left( {p;q} \right) \in \left\{ {\left( {17;3} \right);\left( {3;17} \right)} \right\}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập